Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5128 / 1032
↖ ↑ ↗
← N 79.105086°
E 45.351563°		 ← 923.59 m → N 79.105086°
E 45.395508°		 →
↑
923.92 m
↓
↑
923.92 m
↓
N 79.096777°
E 45.351563°		 ← 924.28 m →
853 645 m²		 N 79.096777°
E 45.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62603759765625 y=0.12603759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62603759765625 × 213)
    floor (0.62603759765625 × 8192)
    floor (5128.5)     		tx = 5128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12603759765625 × 213)
    floor (0.12603759765625 × 8192)
    floor (1032.5)     		ty = 1032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5128 / 1032 ti = "13/5128/1032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5128/1032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5128 ÷ 213
    5128 ÷ 8192     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1032 ÷ 213
    1032 ÷ 8192     		y = 0.1259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1259765625 × 2 - 1) × π
    0.748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35005856697363
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35005856697363))-π/2
    2×atan(10.4861838507967)-π/2
    2×1.47572026819272-π/2
    2.95144053638544-1.57079632675     		φ = 1.38064421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38064421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.105086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5128 KachelY 1032 0.79153409 1.38064421 45.351563 79.105086
    Oben rechts KachelX + 1 5129 KachelY 1032 0.79230108 1.38064421 45.395508 79.105086
    Unten links KachelX 5128 KachelY + 1 1033 0.79153409 1.38049919 45.351563 79.096777
    Unten rechts KachelX + 1 5129 KachelY + 1 1033 0.79230108 1.38049919 45.395508 79.096777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38064421-1.38049919) × R
    0.00014501999999994 × 6371000     		dl = 923.922419999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38064421-1.38049919) × R
    0.00014501999999994 × 6371000     		dr = 923.922419999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79230108) × cos(1.38064421) × R
    0.000766990000000023 × 0.189008272127693 × 6371000     		do = 923.587653506495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79230108) × cos(1.38049919) × R
    0.000766990000000023 × 0.189150676226003 × 6371000     		du = 924.283510177352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38064421)-sin(1.38049919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189008272127693-0.189150676226003)×R²
    abs(0.79230108-0.79153409)×0.000142404098309262×R²
    0.000766990000000023×0.000142404098309262×6371000²
    0.000766990000000023×0.000142404098309262×40589641000000     		ar = 853644.800194728m²