Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5128 / 3080
↖ ↑ ↗
← N 40.713956°
E 45.351563°		 ← 3 703.84 m → N 40.713956°
E 45.395508°		 →
↑
3 704.74 m
↓
↑
3 704.74 m
↓
N 40.680638°
E 45.351563°		 ← 3 705.69 m →
13 725 192 m²		 N 40.680638°
E 45.395508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3080 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62603759765625 y=0.37603759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62603759765625 × 213)
    floor (0.62603759765625 × 8192)
    floor (5128.5)     		tx = 5128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37603759765625 × 213)
    floor (0.37603759765625 × 8192)
    floor (3080.5)     		ty = 3080
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5128 / 3080 ti = "13/5128/3080"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5128/3080.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5128 ÷ 213
    5128 ÷ 8192     		x = 0.6259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3080 ÷ 213
    3080 ÷ 8192     		y = 0.3759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6259765625 × 2 - 1) × π
    0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3759765625 × 2 - 1) × π
    0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79153409} λ = 0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.779262240223633))-π/2
    2×atan(2.1798634565377)-π/2
    2×1.14069445372912-π/2
    2.28138890745823-1.57079632675     		φ = 0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5128 KachelY 3080 0.79153409 0.71059258 45.351563 40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 5129 KachelY 3080 0.79230108 0.71059258 45.395508 40.713956
    Unten links KachelX 5128 KachelY + 1 3081 0.79153409 0.71001108 45.351563 40.680638
    Unten rechts KachelX + 1 5129 KachelY + 1 3081 0.79230108 0.71001108 45.395508 40.680638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71059258-0.71001108) × R
    0.000581500000000013 × 6371000     		dl = 3704.73650000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71059258-0.71001108) × R
    0.000581500000000013 × 6371000     		dr = 3704.73650000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79153409-0.79230108) × cos(0.71059258) × R
    0.000766990000000023 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 3703.84209313111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79153409-0.79230108) × cos(0.71001108) × R
    0.000766990000000023 × 0.758354653625775 × 6371000     		du = 3705.69492638273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71059258)-sin(0.71001108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.758354653625775)×R²
    abs(0.79230108-0.79153409)×0.000379174418475348×R²
    0.000766990000000023×0.000379174418475348×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379174418475348×40589641000000     		ar = 13725191.5089019m²