Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5129 / 1017
↖ ↑ ↗
← N 79.228975°
E 45.395508°		 ← 913.21 m → N 79.228975°
E 45.439453°		 →
↑
913.54 m
↓
↑
913.54 m
↓
N 79.220760°
E 45.395508°		 ← 913.90 m →
834 566 m²		 N 79.220760°
E 45.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62615966796875 y=0.12420654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62615966796875 × 213)
    floor (0.62615966796875 × 8192)
    floor (5129.5)     		tx = 5129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12420654296875 × 213)
    floor (0.12420654296875 × 8192)
    floor (1017.5)     		ty = 1017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5129 / 1017 ti = "13/5129/1017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5129/1017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5129 ÷ 213
    5129 ÷ 8192     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1017 ÷ 213
    1017 ÷ 8192     		y = 0.1241455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1241455078125 × 2 - 1) × π
    0.751708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.36156342288245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36156342288245))-π/2
    2×atan(10.6075225387138)-π/2
    2×1.47680140524886-π/2
    2.95360281049772-1.57079632675     		φ = 1.38280648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38280648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.228975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5129 KachelY 1017 0.79230108 1.38280648 45.395508 79.228975
    Oben rechts KachelX + 1 5130 KachelY 1017 0.79306807 1.38280648 45.439453 79.228975
    Unten links KachelX 5129 KachelY + 1 1018 0.79230108 1.38266309 45.395508 79.220760
    Unten rechts KachelX + 1 5130 KachelY + 1 1018 0.79306807 1.38266309 45.439453 79.220760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38280648-1.38266309) × R
    0.000143389999999854 × 6371000     		dl = 913.537689999073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38280648-1.38266309) × R
    0.000143389999999854 × 6371000     		dr = 913.537689999073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79306807) × cos(1.38280648) × R
    0.000766990000000023 × 0.186884535782793 × 6371000     		do = 913.210030107413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79306807) × cos(1.38266309) × R
    0.000766990000000023 × 0.187025397599732 × 6371000     		du = 913.898350430698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38280648)-sin(1.38266309))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186884535782793-0.187025397599732)×R²
    abs(0.79306807-0.79230108)×0.00014086181693812×R²
    0.000766990000000023×0.00014086181693812×6371000²
    0.000766990000000023×0.00014086181693812×40589641000000     		ar = 834566.186097466m²