Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5129 / 1047
↖ ↑ ↗
← N 78.979790°
E 45.395508°		 ← 934.08 m → N 78.979790°
E 45.439453°		 →
↑
934.43 m
↓
↑
934.43 m
↓
N 78.971386°
E 45.395508°		 ← 934.78 m →
873 164 m²		 N 78.971386°
E 45.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62615966796875 y=0.12786865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62615966796875 × 213)
    floor (0.62615966796875 × 8192)
    floor (5129.5)     		tx = 5129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12786865234375 × 213)
    floor (0.12786865234375 × 8192)
    floor (1047.5)     		ty = 1047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5129 / 1047 ti = "13/5129/1047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5129/1047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5129 ÷ 213
    5129 ÷ 8192     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1047 ÷ 213
    1047 ÷ 8192     		y = 0.1278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1278076171875 × 2 - 1) × π
    0.744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33855371106482
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33855371106482))-π/2
    2×atan(10.3662331474097)-π/2
    2×1.47462684776476-π/2
    2.94925369552951-1.57079632675     		φ = 1.37845737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37845737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.979790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5129 KachelY 1047 0.79230108 1.37845737 45.395508 78.979790
    Oben rechts KachelX + 1 5130 KachelY 1047 0.79306807 1.37845737 45.439453 78.979790
    Unten links KachelX 5129 KachelY + 1 1048 0.79230108 1.37831070 45.395508 78.971386
    Unten rechts KachelX + 1 5130 KachelY + 1 1048 0.79306807 1.37831070 45.439453 78.971386
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37845737-1.37831070) × R
    0.000146669999999904 × 6371000     		dl = 934.434569999391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37845737-1.37831070) × R
    0.000146669999999904 × 6371000     		dr = 934.434569999391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79306807) × cos(1.37845737) × R
    0.000766990000000023 × 0.191155241763869 × 6371000     		do = 934.078806227499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79306807) × cos(1.37831070) × R
    0.000766990000000023 × 0.191299205085577 × 6371000     		du = 934.782282033036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37845737)-sin(1.37831070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191155241763869-0.191299205085577)×R²
    abs(0.79306807-0.79230108)×0.000143963321708879×R²
    0.000766990000000023×0.000143963321708879×6371000²
    0.000766990000000023×0.000143963321708879×40589641000000     		ar = 873164.205264168m²