Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5129 / 3079
↖ ↑ ↗
← N 40.747257°
E 45.395508°		 ← 3 701.99 m → N 40.747257°
E 45.439453°		 →
↑
3 702.95 m
↓
↑
3 702.95 m
↓
N 40.713956°
E 45.395508°		 ← 3 703.84 m →
13 711 721 m²		 N 40.713956°
E 45.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62615966796875 y=0.37591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62615966796875 × 213)
    floor (0.62615966796875 × 8192)
    floor (5129.5)     		tx = 5129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37591552734375 × 213)
    floor (0.37591552734375 × 8192)
    floor (3079.5)     		ty = 3079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5129 / 3079 ti = "13/5129/3079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5129/3079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5129 ÷ 213
    5129 ÷ 8192     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3079 ÷ 213
    3079 ÷ 8192     		y = 0.3758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3758544921875 × 2 - 1) × π
    0.248291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.780029230617554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.780029230617554))-π/2
    2×atan(2.18153603221166)-π/2
    2×1.14098506096756-π/2
    2.28197012193512-1.57079632675     		φ = 0.71117380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.71117380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.747257°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5129 KachelY 3079 0.79230108 0.71117380 45.395508 40.747257
    Oben rechts KachelX + 1 5130 KachelY 3079 0.79306807 0.71117380 45.439453 40.747257
    Unten links KachelX 5129 KachelY + 1 3080 0.79230108 0.71059258 45.395508 40.713956
    Unten rechts KachelX + 1 5130 KachelY + 1 3080 0.79306807 0.71059258 45.439453 40.713956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.71117380-0.71059258) × R
    0.000581219999999938 × 6371000     		dl = 3702.9526199996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.71117380-0.71059258) × R
    0.000581219999999938 × 6371000     		dr = 3702.9526199996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79306807) × cos(0.71117380) × R
    0.000766990000000023 × 0.757596231247903 × 6371000     		do = 3701.98890052228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79306807) × cos(0.71059258) × R
    0.000766990000000023 × 0.757975479207299 × 6371000     		du = 3703.84209313111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.71117380)-sin(0.71059258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757596231247903-0.757975479207299)×R²
    abs(0.79306807-0.79230108)×0.000379247959396145×R²
    0.000766990000000023×0.000379247959396145×6371000²
    0.000766990000000023×0.000379247959396145×40589641000000     		ar = 13711721.0266167m²