Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5129 / 5127
↖ ↑ ↗
← S 41.211721°
E 45.395508°		 ← 3 676.01 m → S 41.211721°
E 45.439453°		 →
↑
3 675.11 m
↓
↑
3 675.11 m
↓
S 41.244773°
E 45.395508°		 ← 3 674.15 m →
13 506 340 m²		 S 41.244773°
E 45.439453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62615966796875 y=0.62591552734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62615966796875 × 213)
    floor (0.62615966796875 × 8192)
    floor (5129.5)     		tx = 5129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62591552734375 × 213)
    floor (0.62591552734375 × 8192)
    floor (5127.5)     		ty = 5127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5129 / 5127 ti = "13/5129/5127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5129/5127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5129 ÷ 213
    5129 ÷ 8192     		x = 0.6260986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5127 ÷ 213
    5127 ÷ 8192     		y = 0.6258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6260986328125 × 2 - 1) × π
    0.252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79230108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6258544921875 × 2 - 1) × π
    -0.251708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.790767096132446
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79230108} λ = 0.79230108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.790767096132446))-π/2
    2×atan(0.453496786190443)-π/2
    2×0.425758048018934-π/2
    0.851516096037868-1.57079632675     		φ = -0.71928023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79230108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.395508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71928023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.211721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5129 KachelY 5127 0.79230108 -0.71928023 45.395508 -41.211721
    Oben rechts KachelX + 1 5130 KachelY 5127 0.79306807 -0.71928023 45.439453 -41.211721
    Unten links KachelX 5129 KachelY + 1 5128 0.79230108 -0.71985708 45.395508 -41.244773
    Unten rechts KachelX + 1 5130 KachelY + 1 5128 0.79306807 -0.71985708 45.439453 -41.244773
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71928023--0.71985708) × R
    0.000576850000000073 × 6371000     		dl = 3675.11135000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71928023--0.71985708) × R
    0.000576850000000073 × 6371000     		dr = 3675.11135000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79230108-0.79306807) × cos(-0.71928023) × R
    0.000766990000000023 × 0.752280139661703 × 6371000     		do = 3676.01185465728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79230108-0.79306807) × cos(-0.71985708) × R
    0.000766990000000023 × 0.751899960719653 × 6371000     		du = 3674.15411280796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71928023)-sin(-0.71985708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.752280139661703-0.751899960719653)×R²
    abs(0.79306807-0.79230108)×0.000380178942049891×R²
    0.000766990000000023×0.000380178942049891×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380178942049891×40589641000000     		ar = 13506339.5602349m²