Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5130 / 1034
↖ ↑ ↗
← N 79.088462°
E 45.439453°		 ← 924.98 m → N 79.088462°
E 45.483399°		 →
↑
925.32 m
↓
↑
925.32 m
↓
N 79.080140°
E 45.439453°		 ← 925.68 m →
856 229 m²		 N 79.080140°
E 45.483399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62628173828125 y=0.12628173828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62628173828125 × 213)
    floor (0.62628173828125 × 8192)
    floor (5130.5)     		tx = 5130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12628173828125 × 213)
    floor (0.12628173828125 × 8192)
    floor (1034.5)     		ty = 1034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5130 / 1034 ti = "13/5130/1034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5130/1034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5130 ÷ 213
    5130 ÷ 8192     		x = 0.626220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1034 ÷ 213
    1034 ÷ 8192     		y = 0.126220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626220703125 × 2 - 1) × π
    0.25244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79306807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126220703125 × 2 - 1) × π
    0.74755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34852458618579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79306807} λ = 0.79306807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34852458618579))-π/2
    2×atan(10.4701105774299)-π/2
    2×1.47557519142593-π/2
    2.95115038285186-1.57079632675     		φ = 1.38035406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79306807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.439453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38035406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.088462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5130 KachelY 1034 0.79306807 1.38035406 45.439453 79.088462
    Oben rechts KachelX + 1 5131 KachelY 1034 0.79383506 1.38035406 45.483399 79.088462
    Unten links KachelX 5130 KachelY + 1 1035 0.79306807 1.38020882 45.439453 79.080140
    Unten rechts KachelX + 1 5131 KachelY + 1 1035 0.79383506 1.38020882 45.483399 79.080140
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38035406-1.38020882) × R
    0.000145239999999935 × 6371000     		dl = 925.324039999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38035406-1.38020882) × R
    0.000145239999999935 × 6371000     		dr = 925.324039999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79306807-0.79383506) × cos(1.38035406) × R
    0.000766990000000023 × 0.189293184357591 × 6371000     		do = 924.979875206127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79306807-0.79383506) × cos(1.38020882) × R
    0.000766990000000023 × 0.189435796510393 × 6371000     		du = 925.676748533867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38035406)-sin(1.38020882))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189293184357591-0.189435796510393)×R²
    abs(0.79383506-0.79306807)×0.000142612152802202×R²
    0.000766990000000023×0.000142612152802202×6371000²
    0.000766990000000023×0.000142612152802202×40589641000000     		ar = 856228.533371267m²