Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5132 / 1012
↖ ↑ ↗
← N 79.269962°
E 45.527344°		 ← 909.78 m → N 79.269962°
E 45.571289°		 →
↑
910.10 m
↓
↑
910.10 m
↓
N 79.261777°
E 45.527344°		 ← 910.46 m →
828 297 m²		 N 79.261777°
E 45.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62652587890625 y=0.12359619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62652587890625 × 213)
    floor (0.62652587890625 × 8192)
    floor (5132.5)     		tx = 5132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12359619140625 × 213)
    floor (0.12359619140625 × 8192)
    floor (1012.5)     		ty = 1012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5132 / 1012 ti = "13/5132/1012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5132/1012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5132 ÷ 213
    5132 ÷ 8192     		x = 0.62646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1012 ÷ 213
    1012 ÷ 8192     		y = 0.12353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62646484375 × 2 - 1) × π
    0.2529296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.79460205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12353515625 × 2 - 1) × π
    0.7529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.36539837485205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79460205} λ = 0.79460205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36539837485205))-π/2
    2×atan(10.6482799796292)-π/2
    2×1.4771590776523-π/2
    2.9543181553046-1.57079632675     		φ = 1.38352183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79460205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.527344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38352183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.269962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5132 KachelY 1012 0.79460205 1.38352183 45.527344 79.269962
    Oben rechts KachelX + 1 5133 KachelY 1012 0.79536904 1.38352183 45.571289 79.269962
    Unten links KachelX 5132 KachelY + 1 1013 0.79460205 1.38337898 45.527344 79.261777
    Unten rechts KachelX + 1 5133 KachelY + 1 1013 0.79536904 1.38337898 45.571289 79.261777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38352183-1.38337898) × R
    0.000142850000000028 × 6371000     		dl = 910.097350000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38352183-1.38337898) × R
    0.000142850000000028 × 6371000     		dr = 910.097350000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79460205-0.79536904) × cos(1.38352183) × R
    0.000766990000000023 × 0.186181741143653 × 6371000     		do = 909.775828819004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79460205-0.79536904) × cos(1.38337898) × R
    0.000766990000000023 × 0.186322091557394 × 6371000     		du = 910.461650173999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38352183)-sin(1.38337898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186181741143653-0.186322091557394)×R²
    abs(0.79536904-0.79460205)×0.000140350413741192×R²
    0.000766990000000023×0.000140350413741192×6371000²
    0.000766990000000023×0.000140350413741192×40589641000000     		ar = 828296.654409112m²