Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5133 / 1021
↖ ↑ ↗
← N 79.196075°
E 45.571289°		 ← 915.97 m → N 79.196075°
E 45.615234°		 →
↑
916.28 m
↓
↑
916.28 m
↓
N 79.187835°
E 45.571289°		 ← 916.66 m →
839 595 m²		 N 79.187835°
E 45.615234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62664794921875 y=0.12469482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62664794921875 × 213)
    floor (0.62664794921875 × 8192)
    floor (5133.5)     		tx = 5133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12469482421875 × 213)
    floor (0.12469482421875 × 8192)
    floor (1021.5)     		ty = 1021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5133 / 1021 ti = "13/5133/1021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5133/1021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5133 ÷ 213
    5133 ÷ 8192     		x = 0.6265869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1021 ÷ 213
    1021 ÷ 8192     		y = 0.1246337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6265869140625 × 2 - 1) × π
    0.253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79536904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1246337890625 × 2 - 1) × π
    0.750732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.35849546130676
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79536904} λ = 0.79536904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35849546130676))-π/2
    2×atan(10.5750289371991)-π/2
    2×1.47651429553868-π/2
    2.95302859107737-1.57079632675     		φ = 1.38223226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79536904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.571289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38223226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.196075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5133 KachelY 1021 0.79536904 1.38223226 45.571289 79.196075
    Oben rechts KachelX + 1 5134 KachelY 1021 0.79613603 1.38223226 45.615234 79.196075
    Unten links KachelX 5133 KachelY + 1 1022 0.79536904 1.38208844 45.571289 79.187835
    Unten rechts KachelX + 1 5134 KachelY + 1 1022 0.79613603 1.38208844 45.615234 79.187835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38223226-1.38208844) × R
    0.000143820000000128 × 6371000     		dl = 916.277220000814m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38223226-1.38208844) × R
    0.000143820000000128 × 6371000     		dr = 916.277220000814m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79536904-0.79613603) × cos(1.38223226) × R
    0.000766990000000023 × 0.187448608267885 × 6371000     		do = 915.966366520884m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79536904-0.79613603) × cos(1.38208844) × R
    0.000766990000000023 × 0.187589877034631 × 6371000     		du = 916.656675401679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38223226)-sin(1.38208844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187448608267885-0.187589877034631)×R²
    abs(0.79613603-0.79536904)×0.000141268766746722×R²
    0.000766990000000023×0.000141268766746722×6371000²
    0.000766990000000023×0.000141268766746722×40589641000000     		ar = 839595.374525554m²