Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51330 / 84098
↖ ↑ ↗
← S 45.340563°
W 39.017945°		 ← 214.68 m → S 45.340563°
W 39.015198°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
S 45.342494°
W 39.017945°		 ← 214.67 m →
46 092 m²		 S 45.342494°
W 39.015198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391620635986328 y=0.641620635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391620635986328 × 217)
    floor (0.391620635986328 × 131072)
    floor (51330.5)     		tx = 51330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641620635986328 × 217)
    floor (0.641620635986328 × 131072)
    floor (84098.5)     		ty = 84098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51330 / 84098 ti = "17/51330/84098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51330/84098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51330 ÷ 217
    51330 ÷ 131072     		x = 0.391616821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84098 ÷ 217
    84098 ÷ 131072     		y = 0.641616821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.391616821289062 × 2 - 1) × π
    -0.216766357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68099160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.641616821289062 × 2 - 1) × π
    -0.283233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.889804730747482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68099160} λ = -0.68099160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.889804730747482))-π/2
    2×atan(0.410735949023906)-π/2
    2×0.389727107665309-π/2
    0.779454215330618-1.57079632675     		φ = -0.79134211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68099160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.017945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79134211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.340563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51330 KachelY 84098 -0.68099160 -0.79134211 -39.017945 -45.340563
    Oben rechts KachelX + 1 51331 KachelY 84098 -0.68094366 -0.79134211 -39.015198 -45.340563
    Unten links KachelX 51330 KachelY + 1 84099 -0.68099160 -0.79137581 -39.017945 -45.342494
    Unten rechts KachelX + 1 51331 KachelY + 1 84099 -0.68094366 -0.79137581 -39.015198 -45.342494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79134211--0.79137581) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dl = 214.702700000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79134211--0.79137581) × R
    3.37000000000254e-05 × 6371000     		dr = 214.702700000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68099160--0.68094366) × cos(-0.79134211) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.702891309804155 × 6371000     		do = 214.68109843686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68099160--0.68094366) × cos(-0.79137581) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.70286733868702 × 6371000     		du = 214.67377704067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79134211)-sin(-0.79137581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702891309804155-0.70286733868702)×R²
    abs(-0.68094366--0.68099160)×2.39711171347023e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39711171347023e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39711171347023e-05×40589641000000     		ar = 46091.8255159269m²