Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51336 / 84104
↖ ↑ ↗
← S 45.352145°
W 39.001465°		 ← 214.59 m → S 45.352145°
W 38.998718°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
S 45.354075°
W 39.001465°		 ← 214.59 m →
46 045 m²		 S 45.354075°
W 38.998718°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.391666412353516 y=0.641666412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.391666412353516 × 217)
    floor (0.391666412353516 × 131072)
    floor (51336.5)     		tx = 51336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.641666412353516 × 217)
    floor (0.641666412353516 × 131072)
    floor (84104.5)     		ty = 84104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51336 / 84104 ti = "17/51336/84104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51336/84104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51336 ÷ 217
    51336 ÷ 131072     		x = 0.39166259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84104 ÷ 217
    84104 ÷ 131072     		y = 0.64166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.2166748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.68070397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64166259765625 × 2 - 1) × π
    -0.2833251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.890092352145203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.68070397} λ = -0.68070397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.890092352145203))-π/2
    2×atan(0.41061782956381)-π/2
    2×0.389626034714984-π/2
    0.779252069429968-1.57079632675     		φ = -0.79154426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.68070397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -39.001465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79154426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.352145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51336 KachelY 84104 -0.68070397 -0.79154426 -39.001465 -45.352145
    Oben rechts KachelX + 1 51337 KachelY 84104 -0.68065604 -0.79154426 -38.998718 -45.352145
    Unten links KachelX 51336 KachelY + 1 84105 -0.68070397 -0.79157794 -39.001465 -45.354075
    Unten rechts KachelX + 1 51337 KachelY + 1 84105 -0.68065604 -0.79157794 -38.998718 -45.354075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79154426--0.79157794) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79154426--0.79157794) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.68070397--0.68065604) × cos(-0.79154426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.702747506700268 × 6371000     		do = 214.592405223564m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.68070397--0.68065604) × cos(-0.79157794) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70272354502455 × 6371000     		du = 214.585088237624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79154426)-sin(-0.79157794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.702747506700268-0.70272354502455)×R²
    abs(-0.68065604--0.68070397)×2.39616757182759e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39616757182759e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39616757182759e-05×40589641000000     		ar = 46045.4404189716m²