Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5135 / 3089
↖ ↑ ↗
← N 40.413496°
E 45.659180°		 ← 3 720.51 m → N 40.413496°
E 45.703125°		 →
↑
3 721.43 m
↓
↑
3 721.43 m
↓
N 40.380029°
E 45.659180°		 ← 3 722.36 m →
13 849 038 m²		 N 40.380029°
E 45.703125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62689208984375 y=0.37713623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62689208984375 × 213)
    floor (0.62689208984375 × 8192)
    floor (5135.5)     		tx = 5135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37713623046875 × 213)
    floor (0.37713623046875 × 8192)
    floor (3089.5)     		ty = 3089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5135 / 3089 ti = "13/5135/3089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5135/3089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5135 ÷ 213
    5135 ÷ 8192     		x = 0.6268310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3089 ÷ 213
    3089 ÷ 8192     		y = 0.3770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6268310546875 × 2 - 1) × π
    0.253662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.79690302
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3770751953125 × 2 - 1) × π
    0.245849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.772359326678345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79690302} λ = 0.79690302}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.772359326678345))-π/2
    2×atan(2.16486786374222)-π/2
    2×1.13807244754355-π/2
    2.27614489508711-1.57079632675     		φ = 0.70534857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79690302} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.659180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70534857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.413496°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5135 KachelY 3089 0.79690302 0.70534857 45.659180 40.413496
    Oben rechts KachelX + 1 5136 KachelY 3089 0.79767001 0.70534857 45.703125 40.413496
    Unten links KachelX 5135 KachelY + 1 3090 0.79690302 0.70476445 45.659180 40.380029
    Unten rechts KachelX + 1 5136 KachelY + 1 3090 0.79767001 0.70476445 45.703125 40.380029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70534857-0.70476445) × R
    0.000584119999999966 × 6371000     		dl = 3721.42851999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70534857-0.70476445) × R
    0.000584119999999966 × 6371000     		dr = 3721.42851999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79690302-0.79767001) × cos(0.70534857) × R
    0.000766990000000023 × 0.761385620346375 × 6371000     		do = 3720.50572492516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79690302-0.79767001) × cos(0.70476445) × R
    0.000766990000000023 × 0.761764175000645 × 6371000     		du = 3722.35552970315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70534857)-sin(0.70476445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761385620346375-0.761764175000645)×R²
    abs(0.79767001-0.79690302)×0.000378554654269392×R²
    0.000766990000000023×0.000378554654269392×6371000²
    0.000766990000000023×0.000378554654269392×40589641000000     		ar = 13849038.465459m²