Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5136 / 1040
↖ ↑ ↗
← N 79.038438°
E 45.703125°		 ← 929.17 m → N 79.038438°
E 45.747070°		 →
↑
929.53 m
↓
↑
929.53 m
↓
N 79.030078°
E 45.703125°		 ← 929.87 m →
864 014 m²		 N 79.030078°
E 45.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1040 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62701416015625 y=0.12701416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62701416015625 × 213)
    floor (0.62701416015625 × 8192)
    floor (5136.5)     		tx = 5136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12701416015625 × 213)
    floor (0.12701416015625 × 8192)
    floor (1040.5)     		ty = 1040
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5136 / 1040 ti = "13/5136/1040"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5136/1040.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5136 ÷ 213
    5136 ÷ 8192     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1040 ÷ 213
    1040 ÷ 8192     		y = 0.126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126953125 × 2 - 1) × π
    0.74609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34392264382227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34392264382227))-π/2
    2×atan(10.4220384294788)-π/2
    2×1.47513864773884-π/2
    2.95027729547768-1.57079632675     		φ = 1.37948097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37948097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.038438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5136 KachelY 1040 0.79767001 1.37948097 45.703125 79.038438
    Oben rechts KachelX + 1 5137 KachelY 1040 0.79843700 1.37948097 45.747070 79.038438
    Unten links KachelX 5136 KachelY + 1 1041 0.79767001 1.37933507 45.703125 79.030078
    Unten rechts KachelX + 1 5137 KachelY + 1 1041 0.79843700 1.37933507 45.747070 79.030078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37948097-1.37933507) × R
    0.000145899999999921 × 6371000     		dl = 929.528899999497m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37948097-1.37933507) × R
    0.000145899999999921 × 6371000     		dr = 929.528899999497m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79843700) × cos(1.37948097) × R
    0.000766989999999912 × 0.190150417168949 × 6371000     		do = 929.168737586661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79843700) × cos(1.37933507) × R
    0.000766989999999912 × 0.190293653194547 × 6371000     		du = 929.868659464633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37948097)-sin(1.37933507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190150417168949-0.190293653194547)×R²
    abs(0.79843700-0.79767001)×0.000143236025598209×R²
    0.000766989999999912×0.000143236025598209×6371000²
    0.000766989999999912×0.000143236025598209×40589641000000     		ar = 864014.494903885m²