Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5136 / 1041
↖ ↑ ↗
← N 79.030078°
E 45.703125°		 ← 929.87 m → N 79.030078°
E 45.747070°		 →
↑
930.23 m
↓
↑
930.23 m
↓
N 79.021712°
E 45.703125°		 ← 930.57 m →
865 317 m²		 N 79.021712°
E 45.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62701416015625 y=0.12713623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62701416015625 × 213)
    floor (0.62701416015625 × 8192)
    floor (5136.5)     		tx = 5136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12713623046875 × 213)
    floor (0.12713623046875 × 8192)
    floor (1041.5)     		ty = 1041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5136 / 1041 ti = "13/5136/1041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5136/1041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5136 ÷ 213
    5136 ÷ 8192     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1041 ÷ 213
    1041 ÷ 8192     		y = 0.1270751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1270751953125 × 2 - 1) × π
    0.745849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.34315565342834
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34315565342834))-π/2
    2×atan(10.4140478908432)-π/2
    2×1.4750656985051-π/2
    2.9501313970102-1.57079632675     		φ = 1.37933507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37933507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.030078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5136 KachelY 1041 0.79767001 1.37933507 45.703125 79.030078
    Oben rechts KachelX + 1 5137 KachelY 1041 0.79843700 1.37933507 45.747070 79.030078
    Unten links KachelX 5136 KachelY + 1 1042 0.79767001 1.37918906 45.703125 79.021712
    Unten rechts KachelX + 1 5137 KachelY + 1 1042 0.79843700 1.37918906 45.747070 79.021712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37933507-1.37918906) × R
    0.000146009999999919 × 6371000     		dl = 930.229709999482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37933507-1.37918906) × R
    0.000146009999999919 × 6371000     		dr = 930.229709999482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79843700) × cos(1.37933507) × R
    0.000766989999999912 × 0.190293653194547 × 6371000     		do = 929.868659464633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79843700) × cos(1.37918906) × R
    0.000766989999999912 × 0.190436993156338 × 6371000     		du = 930.569089226112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37933507)-sin(1.37918906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190293653194547-0.190436993156338)×R²
    abs(0.79843700-0.79767001)×0.000143339961790778×R²
    0.000766989999999912×0.000143339961790778×6371000²
    0.000766989999999912×0.000143339961790778×40589641000000     		ar = 865317.235253473m²