Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5136 / 7185
↖ ↑ ↗
← S 79.310794°
E 45.703125°		 ← 906.35 m → S 79.310794°
E 45.747070°		 →
↑
906.02 m
↓
↑
906.02 m
↓
S 79.318942°
E 45.703125°		 ← 905.67 m →
820 866 m²		 S 79.318942°
E 45.747070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62701416015625 y=0.87713623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62701416015625 × 213)
    floor (0.62701416015625 × 8192)
    floor (5136.5)     		tx = 5136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.87713623046875 × 213)
    floor (0.87713623046875 × 8192)
    floor (7185.5)     		ty = 7185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5136 / 7185 ti = "13/5136/7185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5136/7185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5136 ÷ 213
    5136 ÷ 8192     		x = 0.626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7185 ÷ 213
    7185 ÷ 8192     		y = 0.8770751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.626953125 × 2 - 1) × π
    0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8770751953125 × 2 - 1) × π
    -0.754150390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36923332682166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79767001} λ = 0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36923332682166))-π/2
    2×atan(0.0935524229240239)-π/2
    2×0.0932809218767369-π/2
    0.186561843753474-1.57079632675     		φ = -1.38423448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38423448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.310794°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5136 KachelY 7185 0.79767001 -1.38423448 45.703125 -79.310794
    Oben rechts KachelX + 1 5137 KachelY 7185 0.79843700 -1.38423448 45.747070 -79.310794
    Unten links KachelX 5136 KachelY + 1 7186 0.79767001 -1.38437669 45.703125 -79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 5137 KachelY + 1 7186 0.79843700 -1.38437669 45.747070 -79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38423448--1.38437669) × R
    0.000142210000000143 × 6371000     		dl = 906.019910000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38423448--1.38437669) × R
    0.000142210000000143 × 6371000     		dr = 906.019910000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79767001-0.79843700) × cos(-1.38423448) × R
    0.000766989999999912 × 0.185481504380165 × 6371000     		do = 906.354126572679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79767001-0.79843700) × cos(-1.38437669) × R
    0.000766989999999912 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 905.671267416427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38423448)-sin(-1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185481504380165-0.185341760167756)×R²
    abs(0.79843700-0.79767001)×0.000139744212408838×R²
    0.000766989999999912×0.000139744212408838×6371000²
    0.000766989999999912×0.000139744212408838×40589641000000     		ar = 820865.543573047m²