Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5138 / 3090
↖ ↑ ↗
← N 40.380029°
E 45.791016°		 ← 3 722.36 m → N 40.380029°
E 45.834961°		 →
↑
3 723.28 m
↓
↑
3 723.28 m
↓
N 40.346544°
E 45.791016°		 ← 3 724.20 m →
13 862 801 m²		 N 40.346544°
E 45.834961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62725830078125 y=0.37725830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62725830078125 × 213)
    floor (0.62725830078125 × 8192)
    floor (5138.5)     		tx = 5138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37725830078125 × 213)
    floor (0.37725830078125 × 8192)
    floor (3090.5)     		ty = 3090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5138 / 3090 ti = "13/5138/3090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5138/3090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5138 ÷ 213
    5138 ÷ 8192     		x = 0.627197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3090 ÷ 213
    3090 ÷ 8192     		y = 0.377197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627197265625 × 2 - 1) × π
    0.25439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.79920399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.377197265625 × 2 - 1) × π
    0.24560546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.771592336284424
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.79920399} λ = 0.79920399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.771592336284424))-π/2
    2×atan(2.16320806749188)-π/2
    2×1.13778038722538-π/2
    2.27556077445075-1.57079632675     		φ = 0.70476445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.79920399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.791016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70476445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.380029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5138 KachelY 3090 0.79920399 0.70476445 45.791016 40.380029
    Oben rechts KachelX + 1 5139 KachelY 3090 0.79997098 0.70476445 45.834961 40.380029
    Unten links KachelX 5138 KachelY + 1 3091 0.79920399 0.70418004 45.791016 40.346544
    Unten rechts KachelX + 1 5139 KachelY + 1 3091 0.79997098 0.70418004 45.834961 40.346544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70476445-0.70418004) × R
    0.00058440999999998 × 6371000     		dl = 3723.27610999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70476445-0.70418004) × R
    0.00058440999999998 × 6371000     		dr = 3723.27610999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.79920399-0.79997098) × cos(0.70476445) × R
    0.000766990000000023 × 0.761764175000645 × 6371000     		do = 3722.35552970315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.79920399-0.79997098) × cos(0.70418004) × R
    0.000766990000000023 × 0.762142657492576 × 6371000     		du = 3724.20498186035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70476445)-sin(0.70418004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761764175000645-0.762142657492576)×R²
    abs(0.79997098-0.79920399)×0.00037848249193162×R²
    0.000766990000000023×0.00037848249193162×6371000²
    0.000766990000000023×0.00037848249193162×40589641000000     		ar = 13862800.821739m²