Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5140 / 1045
↖ ↑ ↗
← N 78.996578°
E 45.878906°		 ← 932.67 m → N 78.996578°
E 45.922851°		 →
↑
933.03 m
↓
↑
933.03 m
↓
N 78.988187°
E 45.878906°		 ← 933.38 m →
870 543 m²		 N 78.988187°
E 45.922851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62750244140625 y=0.12762451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62750244140625 × 213)
    floor (0.62750244140625 × 8192)
    floor (5140.5)     		tx = 5140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12762451171875 × 213)
    floor (0.12762451171875 × 8192)
    floor (1045.5)     		ty = 1045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5140 / 1045 ti = "13/5140/1045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5140/1045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5140 ÷ 213
    5140 ÷ 8192     		x = 0.62744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1045 ÷ 213
    1045 ÷ 8192     		y = 0.1275634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62744140625 × 2 - 1) × π
    0.2548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80073797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1275634765625 × 2 - 1) × π
    0.744873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34008769185266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80073797} λ = 0.80073797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34008769185266))-π/2
    2×atan(10.3821469525152)-π/2
    2×1.47477335167509-π/2
    2.94954670335018-1.57079632675     		φ = 1.37875038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80073797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.878906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37875038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.996578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5140 KachelY 1045 0.80073797 1.37875038 45.878906 78.996578
    Oben rechts KachelX + 1 5141 KachelY 1045 0.80150496 1.37875038 45.922851 78.996578
    Unten links KachelX 5140 KachelY + 1 1046 0.80073797 1.37860393 45.878906 78.988187
    Unten rechts KachelX + 1 5141 KachelY + 1 1046 0.80150496 1.37860393 45.922851 78.988187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37875038-1.37860393) × R
    0.000146450000000131 × 6371000     		dl = 933.032950000836m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37875038-1.37860393) × R
    0.000146450000000131 × 6371000     		dr = 933.032950000836m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80073797-0.80150496) × cos(1.37875038) × R
    0.000766990000000023 × 0.190867626720321 × 6371000     		do = 932.673377247103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80073797-0.80150496) × cos(1.37860393) × R
    0.000766990000000023 × 0.191011382304673 × 6371000     		du = 933.375837945436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37875038)-sin(1.37860393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190867626720321-0.191011382304673)×R²
    abs(0.80150496-0.80073797)×0.000143755584351313×R²
    0.000766990000000023×0.000143755584351313×6371000²
    0.000766990000000023×0.000143755584351313×40589641000000     		ar = 870542.703606634m²