Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5142 / 1046
↖ ↑ ↗
← N 78.988187°
E 45.966797°		 ← 933.38 m → N 78.988187°
E 46.010742°		 →
↑
933.73 m
↓
↑
933.73 m
↓
N 78.979790°
E 45.966797°		 ← 934.08 m →
871 853 m²		 N 78.979790°
E 46.010742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62774658203125 y=0.12774658203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62774658203125 × 213)
    floor (0.62774658203125 × 8192)
    floor (5142.5)     		tx = 5142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12774658203125 × 213)
    floor (0.12774658203125 × 8192)
    floor (1046.5)     		ty = 1046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5142 / 1046 ti = "13/5142/1046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5142/1046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5142 ÷ 213
    5142 ÷ 8192     		x = 0.627685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1046 ÷ 213
    1046 ÷ 8192     		y = 0.127685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.627685546875 × 2 - 1) × π
    0.25537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80227195
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127685546875 × 2 - 1) × π
    0.74462890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80227195} λ = 0.80227195}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33932070145874))-π/2
    2×atan(10.3741869985287)-π/2
    2×1.47470012729446-π/2
    2.94940025458893-1.57079632675     		φ = 1.37860393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80227195} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.966797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37860393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.988187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5142 KachelY 1046 0.80227195 1.37860393 45.966797 78.988187
    Oben rechts KachelX + 1 5143 KachelY 1046 0.80303894 1.37860393 46.010742 78.988187
    Unten links KachelX 5142 KachelY + 1 1047 0.80227195 1.37845737 45.966797 78.979790
    Unten rechts KachelX + 1 5143 KachelY + 1 1047 0.80303894 1.37845737 46.010742 78.979790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37860393-1.37845737) × R
    0.000146559999999907 × 6371000     		dl = 933.733759999406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37860393-1.37845737) × R
    0.000146559999999907 × 6371000     		dr = 933.733759999406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80227195-0.80303894) × cos(1.37860393) × R
    0.000766990000000023 × 0.191011382304673 × 6371000     		do = 933.375837945436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80227195-0.80303894) × cos(1.37845737) × R
    0.000766990000000023 × 0.191155241763869 × 6371000     		du = 934.078806227499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37860393)-sin(1.37845737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191011382304673-0.191155241763869)×R²
    abs(0.80303894-0.80227195)×0.000143859459195872×R²
    0.000766990000000023×0.000143859459195872×6371000²
    0.000766990000000023×0.000143859459195872×40589641000000     		ar = 871852.724824975m²