Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51455 / 84223
↖ ↑ ↗
← S 45.581367°
W 38.674621°		 ← 213.72 m → S 45.581367°
W 38.671875°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
S 45.583290°
W 38.674621°		 ← 213.71 m →
45 682 m²		 S 45.583290°
W 38.671875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392574310302734 y=0.642574310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392574310302734 × 217)
    floor (0.392574310302734 × 131072)
    floor (51455.5)     		tx = 51455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642574310302734 × 217)
    floor (0.642574310302734 × 131072)
    floor (84223.5)     		ty = 84223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51455 / 84223 ti = "17/51455/84223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51455/84223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51455 ÷ 217
    51455 ÷ 131072     		x = 0.392570495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84223 ÷ 217
    84223 ÷ 131072     		y = 0.642570495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392570495605469 × 2 - 1) × π
    -0.214859008789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.67499948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642570495605469 × 2 - 1) × π
    -0.285140991210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.895796843199989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67499948} λ = -0.67499948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895796843199989))-π/2
    2×atan(0.408282132144511)-π/2
    2×0.387625693466512-π/2
    0.775251386933023-1.57079632675     		φ = -0.79554494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67499948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.674621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79554494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.581367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51455 KachelY 84223 -0.67499948 -0.79554494 -38.674621 -45.581367
    Oben rechts KachelX + 1 51456 KachelY 84223 -0.67495155 -0.79554494 -38.671875 -45.581367
    Unten links KachelX 51455 KachelY + 1 84224 -0.67499948 -0.79557849 -38.674621 -45.583290
    Unten rechts KachelX + 1 51456 KachelY + 1 84224 -0.67495155 -0.79557849 -38.671875 -45.583290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79554494--0.79557849) × R
    3.35500000000488e-05 × 6371000     		dl = 213.747050000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79554494--0.79557849) × R
    3.35500000000488e-05 × 6371000     		dr = 213.747050000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67499948--0.67495155) × cos(-0.79554494) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699895649249279 × 6371000     		do = 213.721556243059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67499948--0.67495155) × cos(-0.79557849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.699871685931871 × 6371000     		du = 213.714238755809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79554494)-sin(-0.79557849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699895649249279-0.699871685931871)×R²
    abs(-0.67495155--0.67499948)×2.39633174087261e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39633174087261e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39633174087261e-05×40589641000000     		ar = 45681.5701269791m²