Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51456 / 18688
↖ ↑ ↗
← N 60.930432°
E102.656250°		 ← 296.76 m → N 60.930432°
E102.661743°		 →
↑
296.82 m
↓
↑
296.82 m
↓
N 60.927763°
E102.656250°		 ← 296.79 m →
88 091 m²		 N 60.927763°
E102.661743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785163879394531 y=0.285163879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785163879394531 × 216)
    floor (0.785163879394531 × 65536)
    floor (51456.5)     		tx = 51456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.285163879394531 × 216)
    floor (0.285163879394531 × 65536)
    floor (18688.5)     		ty = 18688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51456 / 18688 ti = "16/51456/18688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51456/18688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51456 ÷ 216
    51456 ÷ 65536     		x = 0.78515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18688 ÷ 216
    18688 ÷ 65536     		y = 0.28515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78515625 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79168956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.28515625 × 2 - 1) × π
    0.4296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.34990309330078
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79168956} λ = 1.79168956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34990309330078))-π/2
    2×atan(3.85705173843309)-π/2
    2×1.31711649169017-π/2
    2.63423298338034-1.57079632675     		φ = 1.06343666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79168956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06343666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.930432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51456 KachelY 18688 1.79168956 1.06343666 102.656250 60.930432
    Oben rechts KachelX + 1 51457 KachelY 18688 1.79178543 1.06343666 102.661743 60.930432
    Unten links KachelX 51456 KachelY + 1 18689 1.79168956 1.06339007 102.656250 60.927763
    Unten rechts KachelX + 1 51457 KachelY + 1 18689 1.79178543 1.06339007 102.661743 60.927763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06343666-1.06339007) × R
    4.65899999999575e-05 × 6371000     		dl = 296.824889999729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06343666-1.06339007) × R
    4.65899999999575e-05 × 6371000     		dr = 296.824889999729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79168956-1.79178543) × cos(1.06343666) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485871211628651 × 6371000     		do = 296.764193857856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79168956-1.79178543) × cos(1.06339007) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.485911932178332 × 6371000     		du = 296.789065471588m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06343666)-sin(1.06339007))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.485871211628651-0.485911932178332)×R²
    abs(1.79178543-1.79168956)×4.07205496802954e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.07205496802954e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.07205496802954e-05×40589641000000     		ar = 88090.6904708196m²