Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51456 / 51456
↖ ↑ ↗
← S 71.074057°
E102.656250°		 ← 198.11 m → S 71.074057°
E102.661743°		 →
↑
198.07 m
↓
↑
198.07 m
↓
S 71.075838°
E102.656250°		 ← 198.09 m →
39 238 m²		 S 71.075838°
E102.661743°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.785163879394531 y=0.785163879394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.785163879394531 × 216)
    floor (0.785163879394531 × 65536)
    floor (51456.5)     		tx = 51456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785163879394531 × 216)
    floor (0.785163879394531 × 65536)
    floor (51456.5)     		ty = 51456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51456 / 51456 ti = "16/51456/51456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51456/51456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51456 ÷ 216
    51456 ÷ 65536     		x = 0.78515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51456 ÷ 216
    51456 ÷ 65536     		y = 0.78515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78515625 × 2 - 1) × π
    0.5703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.79168956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78515625 × 2 - 1) × π
    -0.5703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79168956019922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.79168956} λ = 1.79168956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79168956019922))-π/2
    2×atan(0.166678318578755)-π/2
    2×0.16516001438875-π/2
    0.330320028777501-1.57079632675     		φ = -1.24047630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.79168956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 102.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24047630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.074057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51456 KachelY 51456 1.79168956 -1.24047630 102.656250 -71.074057
    Oben rechts KachelX + 1 51457 KachelY 51456 1.79178543 -1.24047630 102.661743 -71.074057
    Unten links KachelX 51456 KachelY + 1 51457 1.79168956 -1.24050739 102.656250 -71.075838
    Unten rechts KachelX + 1 51457 KachelY + 1 51457 1.79178543 -1.24050739 102.661743 -71.075838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24047630--1.24050739) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dl = 198.074390000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24047630--1.24050739) × R
    3.10900000000114e-05 × 6371000     		dr = 198.074390000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.79168956-1.79178543) × cos(-1.24047630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324345770694955 × 6371000     		do = 198.106429991698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.79168956-1.79178543) × cos(-1.24050739) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32431636130736 × 6371000     		du = 198.088467097432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24047630)-sin(-1.24050739))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324345770694955-0.32431636130736)×R²
    abs(1.79178543-1.79168956)×2.94093875946033e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94093875946033e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94093875946033e-05×40589641000000     		ar = 39238.0312842778m²