Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 51456 / 84224
↖ ↑ ↗
← S 45.583290°
W 38.671875°		 ← 213.76 m → S 45.583290°
W 38.669128°		 →
↑
213.75 m
↓
↑
213.75 m
↓
S 45.585212°
W 38.671875°		 ← 213.75 m →
45 690 m²		 S 45.585212°
W 38.669128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51456 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.392581939697266 y=0.642581939697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.392581939697266 × 217)
    floor (0.392581939697266 × 131072)
    floor (51456.5)     		tx = 51456
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642581939697266 × 217)
    floor (0.642581939697266 × 131072)
    floor (84224.5)     		ty = 84224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51456 / 84224 ti = "17/51456/84224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51456/84224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51456 ÷ 217
    51456 ÷ 131072     		x = 0.392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84224 ÷ 217
    84224 ÷ 131072     		y = 0.642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.392578125 × 2 - 1) × π
    -0.21484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.67495155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642578125 × 2 - 1) × π
    -0.28515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.895844780099609
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.67495155} λ = -0.67495155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895844780099609))-π/2
    2×atan(0.408262560834024)-π/2
    2×0.387608918339952-π/2
    0.775217836679904-1.57079632675     		φ = -0.79557849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.67495155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.671875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79557849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.583290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51456 KachelY 84224 -0.67495155 -0.79557849 -38.671875 -45.583290
    Oben rechts KachelX + 1 51457 KachelY 84224 -0.67490361 -0.79557849 -38.669128 -45.583290
    Unten links KachelX 51456 KachelY + 1 84225 -0.67495155 -0.79561204 -38.671875 -45.585212
    Unten rechts KachelX + 1 51457 KachelY + 1 84225 -0.67490361 -0.79561204 -38.669128 -45.585212
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79557849--0.79561204) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dl = 213.747049999604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79557849--0.79561204) × R
    3.35499999999378e-05 × 6371000     		dr = 213.747049999604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.67495155--0.67490361) × cos(-0.79557849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699871685931871 × 6371000     		do = 213.758827580649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.67495155--0.67490361) × cos(-0.79561204) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699847721826685 × 6371000     		du = 213.751508326089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79557849)-sin(-0.79561204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.699871685931871-0.699847721826685)×R²
    abs(-0.67490361--0.67495155)×2.3964105186014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3964105186014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3964105186014e-05×40589641000000     		ar = 45689.5365764962m²