Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5151 / 1055
↖ ↑ ↗
← N 78.912384°
E 46.362305°		 ← 939.72 m → N 78.912384°
E 46.406250°		 →
↑
940.10 m
↓
↑
940.10 m
↓
N 78.903929°
E 46.362305°		 ← 940.43 m →
883 769 m²		 N 78.903929°
E 46.406250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5151 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62884521484375 y=0.12884521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62884521484375 × 213)
    floor (0.62884521484375 × 8192)
    floor (5151.5)     		tx = 5151
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12884521484375 × 213)
    floor (0.12884521484375 × 8192)
    floor (1055.5)     		ty = 1055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5151 / 1055 ti = "13/5151/1055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5151/1055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5151 ÷ 213
    5151 ÷ 8192     		x = 0.6287841796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1055 ÷ 213
    1055 ÷ 8192     		y = 0.1287841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6287841796875 × 2 - 1) × π
    0.257568359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.80917487
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1287841796875 × 2 - 1) × π
    0.742431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33241778791345
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80917487} λ = 0.80917487}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33241778791345))-π/2
    2×atan(10.3028214809558)-π/2
    2×1.47403862135958-π/2
    2.94807724271916-1.57079632675     		φ = 1.37728092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80917487} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.362305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37728092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.912384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5151 KachelY 1055 0.80917487 1.37728092 46.362305 78.912384
    Oben rechts KachelX + 1 5152 KachelY 1055 0.80994186 1.37728092 46.406250 78.912384
    Unten links KachelX 5151 KachelY + 1 1056 0.80917487 1.37713336 46.362305 78.903929
    Unten rechts KachelX + 1 5152 KachelY + 1 1056 0.80994186 1.37713336 46.406250 78.903929
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37728092-1.37713336) × R
    0.000147560000000047 × 6371000     		dl = 940.104760000297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37728092-1.37713336) × R
    0.000147560000000047 × 6371000     		dr = 940.104760000297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80917487-0.80994186) × cos(1.37728092) × R
    0.000766990000000023 × 0.192309865261007 × 6371000     		do = 939.720866198745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80917487-0.80994186) × cos(1.37713336) × R
    0.000766990000000023 × 0.192454668849152 × 6371000     		du = 940.428447960584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37728092)-sin(1.37713336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192309865261007-0.192454668849152)×R²
    abs(0.80994186-0.80917487)×0.000144803588145032×R²
    0.000766990000000023×0.000144803588145032×6371000²
    0.000766990000000023×0.000144803588145032×40589641000000     		ar = 883768.661478931m²