Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5152 / 1120
↖ ↑ ↗
← N 78.349410°
E 46.406250°		 ← 986.79 m → N 78.349410°
E 46.450196°		 →
↑
987.12 m
↓
↑
987.12 m
↓
N 78.340533°
E 46.406250°		 ← 987.53 m →
974 451 m²		 N 78.340533°
E 46.450196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5152 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62896728515625 y=0.13677978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62896728515625 × 213)
    floor (0.62896728515625 × 8192)
    floor (5152.5)     		tx = 5152
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13677978515625 × 213)
    floor (0.13677978515625 × 8192)
    floor (1120.5)     		ty = 1120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5152 / 1120 ti = "13/5152/1120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5152/1120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5152 ÷ 213
    5152 ÷ 8192     		x = 0.62890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1120 ÷ 213
    1120 ÷ 8192     		y = 0.13671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62890625 × 2 - 1) × π
    0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13671875 × 2 - 1) × π
    0.7265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28256341230859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.80994186} λ = 0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28256341230859))-π/2
    2×atan(9.80177422158009)-π/2
    2×1.46912575516101-π/2
    2.93825151032202-1.57079632675     		φ = 1.36745518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36745518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.349410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5152 KachelY 1120 0.80994186 1.36745518 46.406250 78.349410
    Oben rechts KachelX + 1 5153 KachelY 1120 0.81070885 1.36745518 46.450196 78.349410
    Unten links KachelX 5152 KachelY + 1 1121 0.80994186 1.36730024 46.406250 78.340533
    Unten rechts KachelX + 1 5153 KachelY + 1 1121 0.81070885 1.36730024 46.450196 78.340533
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36745518-1.36730024) × R
    0.000154940000000048 × 6371000     		dl = 987.122740000305m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36745518-1.36730024) × R
    0.000154940000000048 × 6371000     		dr = 987.122740000305m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.80994186-0.81070885) × cos(1.36745518) × R
    0.000766990000000023 × 0.201942762110113 × 6371000     		do = 986.791952015164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.80994186-0.81070885) × cos(1.36730024) × R
    0.000766990000000023 × 0.20209450750713 × 6371000     		du = 987.533454879477m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36745518)-sin(1.36730024))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201942762110113-0.20209450750713)×R²
    abs(0.81070885-0.80994186)×0.000151745397017261×R²
    0.000766990000000023×0.000151745397017261×6371000²
    0.000766990000000023×0.000151745397017261×40589641000000     		ar = 974450.754600547m²