Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5154 / 1054
↖ ↑ ↗
← N 78.920832°
E 46.494141°		 ← 939.01 m → N 78.920832°
E 46.538086°		 →
↑
939.34 m
↓
↑
939.34 m
↓
N 78.912384°
E 46.494141°		 ← 939.72 m →
882 386 m²		 N 78.912384°
E 46.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62921142578125 y=0.12872314453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62921142578125 × 213)
    floor (0.62921142578125 × 8192)
    floor (5154.5)     		tx = 5154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12872314453125 × 213)
    floor (0.12872314453125 × 8192)
    floor (1054.5)     		ty = 1054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5154 / 1054 ti = "13/5154/1054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5154/1054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5154 ÷ 213
    5154 ÷ 8192     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1054 ÷ 213
    1054 ÷ 8192     		y = 0.128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.128662109375 × 2 - 1) × π
    0.74267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.33318477830737
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33318477830737))-π/2
    2×atan(10.3107266772793)-π/2
    2×1.47411234352265-π/2
    2.94822468704529-1.57079632675     		φ = 1.37742836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37742836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.920832°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5154 KachelY 1054 0.81147584 1.37742836 46.494141 78.920832
    Oben rechts KachelX + 1 5155 KachelY 1054 0.81224283 1.37742836 46.538086 78.920832
    Unten links KachelX 5154 KachelY + 1 1055 0.81147584 1.37728092 46.494141 78.912384
    Unten rechts KachelX + 1 5155 KachelY + 1 1055 0.81224283 1.37728092 46.538086 78.912384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37742836-1.37728092) × R
    0.000147439999999888 × 6371000     		dl = 939.340239999284m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37742836-1.37728092) × R
    0.000147439999999888 × 6371000     		dr = 939.340239999284m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81224283) × cos(1.37742836) × R
    0.000766990000000023 × 0.192165175249029 × 6371000     		do = 939.013839426084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81224283) × cos(1.37728092) × R
    0.000766990000000023 × 0.192309865261007 × 6371000     		du = 939.720866198745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37742836)-sin(1.37728092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192165175249029-0.192309865261007)×R²
    abs(0.81224283-0.81147584)×0.000144690011978033×R²
    0.000766990000000023×0.000144690011978033×6371000²
    0.000766990000000023×0.000144690011978033×40589641000000     		ar = 882385.556234929m²