Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5154 / 1058
↖ ↑ ↗
← N 78.887002°
E 46.494141°		 ← 941.85 m → N 78.887002°
E 46.538086°		 →
↑
942.21 m
↓
↑
942.21 m
↓
N 78.878528°
E 46.494141°		 ← 942.55 m →
887 747 m²		 N 78.878528°
E 46.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62921142578125 y=0.12921142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62921142578125 × 213)
    floor (0.62921142578125 × 8192)
    floor (5154.5)     		tx = 5154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12921142578125 × 213)
    floor (0.12921142578125 × 8192)
    floor (1058.5)     		ty = 1058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5154 / 1058 ti = "13/5154/1058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5154/1058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5154 ÷ 213
    5154 ÷ 8192     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1058 ÷ 213
    1058 ÷ 8192     		y = 0.129150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129150390625 × 2 - 1) × π
    0.74169921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.33011681673169
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33011681673169))-π/2
    2×atan(10.2791422387117)-π/2
    2×1.47381712165177-π/2
    2.94763424330354-1.57079632675     		φ = 1.37683792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37683792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.887002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5154 KachelY 1058 0.81147584 1.37683792 46.494141 78.887002
    Oben rechts KachelX + 1 5155 KachelY 1058 0.81224283 1.37683792 46.538086 78.887002
    Unten links KachelX 5154 KachelY + 1 1059 0.81147584 1.37669003 46.494141 78.878528
    Unten rechts KachelX + 1 5155 KachelY + 1 1059 0.81224283 1.37669003 46.538086 78.878528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37683792-1.37669003) × R
    0.000147890000000039 × 6371000     		dl = 942.207190000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37683792-1.37669003) × R
    0.000147890000000039 × 6371000     		dr = 942.207190000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81224283) × cos(1.37683792) × R
    0.000766990000000023 × 0.192744577450471 × 6371000     		do = 941.845084395638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81224283) × cos(1.37669003) × R
    0.000766990000000023 × 0.192889692251314 × 6371000     		du = 942.554186896237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37683792)-sin(1.37669003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192744577450471-0.192889692251314)×R²
    abs(0.81224283-0.81147584)×0.000145114800843005×R²
    0.000766990000000023×0.000145114800843005×6371000²
    0.000766990000000023×0.000145114800843005×40589641000000     		ar = 887747.272741965m²