Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5154 / 5154
↖ ↑ ↗
← S 42.098222°
E 46.494141°		 ← 3 625.76 m → S 42.098222°
E 46.538086°		 →
↑
3 624.84 m
↓
↑
3 624.84 m
↓
S 42.130821°
E 46.494141°		 ← 3 623.90 m →
13 139 442 m²		 S 42.130821°
E 46.538086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5154 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5154 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62921142578125 y=0.62921142578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62921142578125 × 213)
    floor (0.62921142578125 × 8192)
    floor (5154.5)     		tx = 5154
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62921142578125 × 213)
    floor (0.62921142578125 × 8192)
    floor (5154.5)     		ty = 5154
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5154 / 5154 ti = "13/5154/5154"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5154/5154.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5154 ÷ 213
    5154 ÷ 8192     		x = 0.629150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5154 ÷ 213
    5154 ÷ 8192     		y = 0.629150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    0.25830078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.81147584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629150390625 × 2 - 1) × π
    -0.25830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.811475836768311
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81147584} λ = 0.81147584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.811475836768311))-π/2
    2×atan(0.444202012565264)-π/2
    2×0.41802186824999-π/2
    0.836043736499979-1.57079632675     		φ = -0.73475259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81147584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.494141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73475259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.098222°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5154 KachelY 5154 0.81147584 -0.73475259 46.494141 -42.098222
    Oben rechts KachelX + 1 5155 KachelY 5154 0.81224283 -0.73475259 46.538086 -42.098222
    Unten links KachelX 5154 KachelY + 1 5155 0.81147584 -0.73532155 46.494141 -42.130821
    Unten rechts KachelX + 1 5155 KachelY + 1 5155 0.81224283 -0.73532155 46.538086 -42.130821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73475259--0.73532155) × R
    0.000568959999999952 × 6371000     		dl = 3624.84415999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73475259--0.73532155) × R
    0.000568959999999952 × 6371000     		dr = 3624.84415999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81147584-0.81224283) × cos(-0.73475259) × R
    0.000766990000000023 × 0.741996640664448 × 6371000     		do = 3625.76160580948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81147584-0.81224283) × cos(-0.73532155) × R
    0.000766990000000023 × 0.741615087755575 × 6371000     		du = 3623.89715008049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73475259)-sin(-0.73532155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.741996640664448-0.741615087755575)×R²
    abs(0.81224283-0.81147584)×0.000381552908873095×R²
    0.000766990000000023×0.000381552908873095×6371000²
    0.000766990000000023×0.000381552908873095×40589641000000     		ar = 13139441.9560926m²