Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5156 / 1060
N 78.870049°
E 46.582031°
← 943.26 m → N 78.870049°
E 46.625977°

943.61 m

943.61 m
N 78.861563°
E 46.582031°
← 943.97 m →
890 407 m²
N 78.861563°
E 46.625977°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1060 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62945556640625 y=0.12945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62945556640625 × 213)
    floor (0.62945556640625 × 8192)
    floor (5156.5)
    tx = 5156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12945556640625 × 213)
    floor (0.12945556640625 × 8192)
    floor (1060.5)
    ty = 1060
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5156 / 1060 ti = "13/5156/1060"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5156/1060.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5156 ÷ 213
    5156 ÷ 8192
    x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1060 ÷ 213
    1060 ÷ 8192
    y = 0.12939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535
    Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.12939453125 × 2 - 1) × π
    0.7412109375 × 3.1415926535
    Φ = 2.32858283594385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32858283594385))-π/2
    2×atan(10.2633863197302)-π/2
    2×1.47366917709551-π/2
    2.94733835419102-1.57079632675
    φ = 1.37654203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37654203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.870049°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5156 KachelY 1060 0.81300982 1.37654203 46.582031 78.870049
    Oben rechts KachelX + 1 5157 KachelY 1060 0.81377681 1.37654203 46.625977 78.870049
    Unten links KachelX 5156 KachelY + 1 1061 0.81300982 1.37639392 46.582031 78.861563
    Unten rechts KachelX + 1 5157 KachelY + 1 1061 0.81377681 1.37639392 46.625977 78.861563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.37654203-1.37639392) × R
    0.000148110000000035 × 6371000
    dl = 943.608810000221m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.37654203-1.37639392) × R
    0.000148110000000035 × 6371000
    dr = 943.608810000221m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81377681) × cos(1.37654203) × R
    0.000766990000000023 × 0.193034910764488 × 6371000
    do = 943.263796186447m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81377681) × cos(1.37639392) × R
    0.000766990000000023 × 0.193180232977388 × 6371000
    du = 943.973912204673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.37654203)-sin(1.37639392))×
    abs(λ12)×abs(0.193034910764488-0.193180232977388)×
    abs(0.81377681-0.81300982)×0.000145322212900478×
    0.000766990000000023×0.000145322212900478×6371000²
    0.000766990000000023×0.000145322212900478×40589641000000
    ar = 890407.065726373m²