Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5156 / 3108
↖ ↑ ↗
← N 39.774770°
E 46.582031°		 ← 3 755.59 m → N 39.774770°
E 46.625977°		 →
↑
3 756.53 m
↓
↑
3 756.53 m
↓
N 39.740986°
E 46.582031°		 ← 3 757.43 m →
14 111 456 m²		 N 39.740986°
E 46.625977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62945556640625 y=0.37945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62945556640625 × 213)
    floor (0.62945556640625 × 8192)
    floor (5156.5)     		tx = 5156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.37945556640625 × 213)
    floor (0.37945556640625 × 8192)
    floor (3108.5)     		ty = 3108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5156 / 3108 ti = "13/5156/3108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5156/3108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5156 ÷ 213
    5156 ÷ 8192     		x = 0.62939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3108 ÷ 213
    3108 ÷ 8192     		y = 0.37939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62939453125 × 2 - 1) × π
    0.2587890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81300982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    0.2412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.757786509193848
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81300982} λ = 0.81300982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757786509193848))-π/2
    2×atan(2.1335484001655)-π/2
    2×1.13249850675921-π/2
    2.26499701351843-1.57079632675     		φ = 0.69420069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81300982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.582031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69420069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.774770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5156 KachelY 3108 0.81300982 0.69420069 46.582031 39.774770
    Oben rechts KachelX + 1 5157 KachelY 3108 0.81377681 0.69420069 46.625977 39.774770
    Unten links KachelX 5156 KachelY + 1 3109 0.81300982 0.69361106 46.582031 39.740986
    Unten rechts KachelX + 1 5157 KachelY + 1 3109 0.81377681 0.69361106 46.625977 39.740986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69420069-0.69361106) × R
    0.000589630000000008 × 6371000     		dl = 3756.53273000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69420069-0.69361106) × R
    0.000589630000000008 × 6371000     		dr = 3756.53273000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81300982-0.81377681) × cos(0.69420069) × R
    0.000766990000000023 × 0.768565322869847 × 6371000     		do = 3755.5892931303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81300982-0.81377681) × cos(0.69361106) × R
    0.000766990000000023 × 0.768942417611527 × 6371000     		du = 3757.43196405522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69420069)-sin(0.69361106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768565322869847-0.768942417611527)×R²
    abs(0.81377681-0.81300982)×0.000377094741680462×R²
    0.000766990000000023×0.000377094741680462×6371000²
    0.000766990000000023×0.000377094741680462×40589641000000     		ar = 14111455.5357357m²