Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 51584 / 84352
↖ ↑ ↗
← S 45.828799°
W 38.320312°		 ← 212.78 m → S 45.828799°
W 38.317566°		 →
↑
212.79 m
↓
↑
212.79 m
↓
S 45.830713°
W 38.320312°		 ← 212.77 m →
45 276 m²		 S 45.830713°
W 38.317566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84352 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.393558502197266 y=0.643558502197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.393558502197266 × 217)
    floor (0.393558502197266 × 131072)
    floor (51584.5)     		tx = 51584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.643558502197266 × 217)
    floor (0.643558502197266 × 131072)
    floor (84352.5)     		ty = 84352
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51584 / 84352 ti = "17/51584/84352"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51584/84352.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51584 ÷ 217
    51584 ÷ 131072     		x = 0.3935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84352 ÷ 217
    84352 ÷ 131072     		y = 0.6435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3935546875 × 2 - 1) × π
    -0.212890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.66881562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6435546875 × 2 - 1) × π
    -0.287109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.901980703250977
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66881562} λ = -0.66881562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.901980703250977))-π/2
    2×atan(0.40576516289158)-π/2
    2×0.38546644381566-π/2
    0.770932887631319-1.57079632675     		φ = -0.79986344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66881562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -38.320312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79986344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.828799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51584 KachelY 84352 -0.66881562 -0.79986344 -38.320312 -45.828799
    Oben rechts KachelX + 1 51585 KachelY 84352 -0.66876769 -0.79986344 -38.317566 -45.828799
    Unten links KachelX 51584 KachelY + 1 84353 -0.66881562 -0.79989684 -38.320312 -45.830713
    Unten rechts KachelX + 1 51585 KachelY + 1 84353 -0.66876769 -0.79989684 -38.317566 -45.830713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79986344--0.79989684) × R
    3.34000000000723e-05 × 6371000     		dl = 212.79140000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79986344--0.79989684) × R
    3.34000000000723e-05 × 6371000     		dr = 212.79140000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66881562--0.66876769) × cos(-0.79986344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.69680466499832 × 6371000     		do = 212.777687017487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66881562--0.66876769) × cos(-0.79989684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.6967807080942 × 6371000     		du = 212.770371488613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79986344)-sin(-0.79989684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.69680466499832-0.6967807080942)×R²
    abs(-0.66876769--0.66881562)×2.39569041202703e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39569041202703e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39569041202703e-05×40589641000000     		ar = 45276.4835725561m²