Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5159 / 1063
↖ ↑ ↗
← N 78.844571°
E 46.713867°		 ← 945.40 m → N 78.844571°
E 46.757813°		 →
↑
945.77 m
↓
↑
945.77 m
↓
N 78.836065°
E 46.713867°		 ← 946.11 m →
894 468 m²		 N 78.836065°
E 46.757813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5159 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62982177734375 y=0.12982177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62982177734375 × 213)
    floor (0.62982177734375 × 8192)
    floor (5159.5)     		tx = 5159
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12982177734375 × 213)
    floor (0.12982177734375 × 8192)
    floor (1063.5)     		ty = 1063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5159 / 1063 ti = "13/5159/1063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5159/1063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5159 ÷ 213
    5159 ÷ 8192     		x = 0.6297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1063 ÷ 213
    1063 ÷ 8192     		y = 0.1297607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6297607421875 × 2 - 1) × π
    0.259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.81531079
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1297607421875 × 2 - 1) × π
    0.740478515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32628186476208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81531079} λ = 0.81531079}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32628186476208))-π/2
    2×atan(10.2397977123415)-π/2
    2×1.47344684232899-π/2
    2.94689368465798-1.57079632675     		φ = 1.37609736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81531079} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.713867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37609736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.844571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5159 KachelY 1063 0.81531079 1.37609736 46.713867 78.844571
    Oben rechts KachelX + 1 5160 KachelY 1063 0.81607778 1.37609736 46.757813 78.844571
    Unten links KachelX 5159 KachelY + 1 1064 0.81531079 1.37594891 46.713867 78.836065
    Unten rechts KachelX + 1 5160 KachelY + 1 1064 0.81607778 1.37594891 46.757813 78.836065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37609736-1.37594891) × R
    0.000148449999999967 × 6371000     		dl = 945.774949999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37609736-1.37594891) × R
    0.000148449999999967 × 6371000     		dr = 945.774949999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81531079-0.81607778) × cos(1.37609736) × R
    0.000766990000000023 × 0.193471198262901 × 6371000     		do = 945.395712119955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81531079-0.81607778) × cos(1.37594891) × R
    0.000766990000000023 × 0.193616841309623 × 6371000     		du = 946.107395890495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37609736)-sin(1.37594891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193471198262901-0.193616841309623)×R²
    abs(0.81607778-0.81531079)×0.000145643046721738×R²
    0.000766990000000023×0.000145643046721738×6371000²
    0.000766990000000023×0.000145643046721738×40589641000000     		ar = 894468.130343288m²