Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5160 / 1000
↖ ↑ ↗
← N 79.367701°
E 46.757813°		 ← 901.58 m → N 79.367701°
E 46.801758°		 →
↑
901.94 m
↓
↑
901.94 m
↓
N 79.359590°
E 46.757813°		 ← 902.26 m →
813 484 m²		 N 79.359590°
E 46.801758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62994384765625 y=0.12213134765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62994384765625 × 213)
    floor (0.62994384765625 × 8192)
    floor (5160.5)     		tx = 5160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12213134765625 × 213)
    floor (0.12213134765625 × 8192)
    floor (1000.5)     		ty = 1000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5160 / 1000 ti = "13/5160/1000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5160/1000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5160 ÷ 213
    5160 ÷ 8192     		x = 0.6298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1000 ÷ 213
    1000 ÷ 8192     		y = 0.1220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6298828125 × 2 - 1) × π
    0.259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.81607778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1220703125 × 2 - 1) × π
    0.755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.3746022595791
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.81607778} λ = 0.81607778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3746022595791))-π/2
    2×atan(10.7467379238453)-π/2
    2×1.47801201254494-π/2
    2.95602402508987-1.57079632675     		φ = 1.38522770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.81607778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 46.757813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38522770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.367701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5160 KachelY 1000 0.81607778 1.38522770 46.757813 79.367701
    Oben rechts KachelX + 1 5161 KachelY 1000 0.81684477 1.38522770 46.801758 79.367701
    Unten links KachelX 5160 KachelY + 1 1001 0.81607778 1.38508613 46.757813 79.359590
    Unten rechts KachelX + 1 5161 KachelY + 1 1001 0.81684477 1.38508613 46.801758 79.359590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38522770-1.38508613) × R
    0.000141570000000035 × 6371000     		dl = 901.942470000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38522770-1.38508613) × R
    0.000141570000000035 × 6371000     		dr = 901.942470000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.81607778-0.81684477) × cos(1.38522770) × R
    0.000766990000000023 × 0.184505427649398 × 6371000     		do = 901.584534177389m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.81607778-0.81684477) × cos(1.38508613) × R
    0.000766990000000023 × 0.184644565254717 × 6371000     		du = 902.264429152167m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38522770)-sin(1.38508613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.184505427649398-0.184644565254717)×R²
    abs(0.81684477-0.81607778)×0.000139137605319029×R²
    0.000766990000000023×0.000139137605319029×6371000²
    0.000766990000000023×0.000139137605319029×40589641000000     		ar = 813483.996105177m²