Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5170 / 1042
↖ ↑ ↗
← N 79.021712°
E 47.197265°		 ← 930.57 m → N 79.021712°
E 47.241211°		 →
↑
930.93 m
↓
↑
930.93 m
↓
N 79.013340°
E 47.197265°		 ← 931.27 m →
866 621 m²		 N 79.013340°
E 47.241211°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5170 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63116455078125 y=0.12725830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63116455078125 × 213)
    floor (0.63116455078125 × 8192)
    floor (5170.5)     		tx = 5170
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.12725830078125 × 213)
    floor (0.12725830078125 × 8192)
    floor (1042.5)     		ty = 1042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5170 / 1042 ti = "13/5170/1042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5170/1042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5170 ÷ 213
    5170 ÷ 8192     		x = 0.631103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1042 ÷ 213
    1042 ÷ 8192     		y = 0.127197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.631103515625 × 2 - 1) × π
    0.26220703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.82374768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127197265625 × 2 - 1) × π
    0.74560546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34238866303442
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.82374768} λ = 0.82374768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34238866303442))-π/2
    2×atan(10.4060634785243)-π/2
    2×1.4749926943217-π/2
    2.94998538864341-1.57079632675     		φ = 1.37918906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.82374768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.197265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37918906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.021712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5170 KachelY 1042 0.82374768 1.37918906 47.197265 79.021712
    Oben rechts KachelX + 1 5171 KachelY 1042 0.82451467 1.37918906 47.241211 79.021712
    Unten links KachelX 5170 KachelY + 1 1043 0.82374768 1.37904294 47.197265 79.013340
    Unten rechts KachelX + 1 5171 KachelY + 1 1043 0.82451467 1.37904294 47.241211 79.013340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37918906-1.37904294) × R
    0.000146120000000138 × 6371000     		dl = 930.930520000882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37918906-1.37904294) × R
    0.000146120000000138 × 6371000     		dr = 930.930520000882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.82374768-0.82451467) × cos(1.37918906) × R
    0.000766990000000023 × 0.190436993156338 × 6371000     		do = 930.569089226247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.82374768-0.82451467) × cos(1.37904294) × R
    0.000766990000000023 × 0.190580437042093 × 6371000     		du = 931.270026811482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37918906)-sin(1.37904294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190436993156338-0.190580437042093)×R²
    abs(0.82451467-0.82374768)×0.00014344388575524×R²
    0.000766990000000023×0.00014344388575524×6371000²
    0.000766990000000023×0.00014344388575524×40589641000000     		ar = 866621.429767427m²