Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51712 / 84480
↖ ↑ ↗
← S 46.073231°
W 37.968750°		 ← 211.89 m → S 46.073231°
W 37.966003°		 →
↑
211.90 m
↓
↑
211.90 m
↓
S 46.075136°
W 37.968750°		 ← 211.88 m →
44 898 m²		 S 46.075136°
W 37.966003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394535064697266 y=0.644535064697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394535064697266 × 217)
    floor (0.394535064697266 × 131072)
    floor (51712.5)     		tx = 51712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644535064697266 × 217)
    floor (0.644535064697266 × 131072)
    floor (84480.5)     		ty = 84480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51712 / 84480 ti = "17/51712/84480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51712/84480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51712 ÷ 217
    51712 ÷ 131072     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84480 ÷ 217
    84480 ÷ 131072     		y = 0.64453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64453125 × 2 - 1) × π
    -0.2890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.908116626402344
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908116626402344))-π/2
    2×atan(0.403283041874041)-π/2
    2×0.383333377684421-π/2
    0.766666755368841-1.57079632675     		φ = -0.80412957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80412957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.073231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51712 KachelY 84480 -0.66267970 -0.80412957 -37.968750 -46.073231
    Oben rechts KachelX + 1 51713 KachelY 84480 -0.66263176 -0.80412957 -37.966003 -46.073231
    Unten links KachelX 51712 KachelY + 1 84481 -0.66267970 -0.80416283 -37.968750 -46.075136
    Unten rechts KachelX + 1 51713 KachelY + 1 84481 -0.66263176 -0.80416283 -37.966003 -46.075136
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80412957--0.80416283) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dl = 211.899460000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80412957--0.80416283) × R
    3.32600000000349e-05 × 6371000     		dr = 211.899460000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66263176) × cos(-0.80412957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693738404991914 × 6371000     		do = 211.885565710936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66263176) × cos(-0.80416283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.693714449856013 × 6371000     		du = 211.878249195827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80412957)-sin(-0.80416283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693738404991914-0.693714449856013)×R²
    abs(-0.66263176--0.66267970)×2.39551359002554e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39551359002554e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39551359002554e-05×40589641000000     		ar = 44897.6617773537m²