Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51712 / 85504
↖ ↑ ↗
← S 47.989922°
W 37.968750°		 ← 204.41 m → S 47.989922°
W 37.966003°		 →
↑
204.38 m
↓
↑
204.38 m
↓
S 47.991760°
W 37.968750°		 ← 204.40 m →
41 777 m²		 S 47.991760°
W 37.966003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394535064697266 y=0.652347564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394535064697266 × 217)
    floor (0.394535064697266 × 131072)
    floor (51712.5)     		tx = 51712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652347564697266 × 217)
    floor (0.652347564697266 × 131072)
    floor (85504.5)     		ty = 85504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51712 / 85504 ti = "17/51712/85504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51712/85504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51712 ÷ 217
    51712 ÷ 131072     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85504 ÷ 217
    85504 ÷ 131072     		y = 0.65234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65234375 × 2 - 1) × π
    -0.3046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.957204011613281
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.957204011613281))-π/2
    2×atan(0.383964948075839)-π/2
    2×0.366607092971331-π/2
    0.733214185942662-1.57079632675     		φ = -0.83758214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83758214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.989922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51712 KachelY 85504 -0.66267970 -0.83758214 -37.968750 -47.989922
    Oben rechts KachelX + 1 51713 KachelY 85504 -0.66263176 -0.83758214 -37.966003 -47.989922
    Unten links KachelX 51712 KachelY + 1 85505 -0.66267970 -0.83761422 -37.968750 -47.991760
    Unten rechts KachelX + 1 51713 KachelY + 1 85505 -0.66263176 -0.83761422 -37.966003 -47.991760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83758214--0.83761422) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dl = 204.381679999936m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83758214--0.83761422) × R
    3.20799999999899e-05 × 6371000     		dr = 204.381679999936m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66263176) × cos(-0.83758214) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669261315892548 × 6371000     		do = 204.409632659721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66263176) × cos(-0.83761422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.669237479238381 × 6371000     		du = 204.402352331983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83758214)-sin(-0.83761422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.669261315892548-0.669237479238381)×R²
    abs(-0.66263176--0.66267970)×2.38366541667201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38366541667201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38366541667201e-05×40589641000000     		ar = 41776.8401521288m²