Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 51713 / 84481
↖ ↑ ↗
← S 46.075136°
W 37.966003°		 ← 211.83 m → S 46.075136°
W 37.963257°		 →
↑
211.84 m
↓
↑
211.84 m
↓
S 46.077041°
W 37.966003°		 ← 211.83 m →
44 873 m²		 S 46.077041°
W 37.963257°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394542694091797 y=0.644542694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394542694091797 × 217)
    floor (0.394542694091797 × 131072)
    floor (51713.5)     		tx = 51713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644542694091797 × 217)
    floor (0.644542694091797 × 131072)
    floor (84481.5)     		ty = 84481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51713 / 84481 ti = "17/51713/84481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51713/84481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51713 ÷ 217
    51713 ÷ 131072     		x = 0.394538879394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84481 ÷ 217
    84481 ÷ 131072     		y = 0.644538879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394538879394531 × 2 - 1) × π
    -0.210922241210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.66263176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644538879394531 × 2 - 1) × π
    -0.289077758789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.908164563301964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66263176} λ = -0.66263176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908164563301964))-π/2
    2×atan(0.403263710198698)-π/2
    2×0.383316750137345-π/2
    0.766633500274691-1.57079632675     		φ = -0.80416283
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66263176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.966003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80416283 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.075136°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51713 KachelY 84481 -0.66263176 -0.80416283 -37.966003 -46.075136
    Oben rechts KachelX + 1 51714 KachelY 84481 -0.66258383 -0.80416283 -37.963257 -46.075136
    Unten links KachelX 51713 KachelY + 1 84482 -0.66263176 -0.80419608 -37.966003 -46.077041
    Unten rechts KachelX + 1 51714 KachelY + 1 84482 -0.66258383 -0.80419608 -37.963257 -46.077041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80416283--0.80419608) × R
    3.32499999999847e-05 × 6371000     		dl = 211.835749999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80416283--0.80419608) × R
    3.32499999999847e-05 × 6371000     		dr = 211.835749999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66263176--0.66258383) × cos(-0.80416283) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.693714449856013 × 6371000     		do = 211.834052648495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66263176--0.66258383) × cos(-0.80419608) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.693690501155439 × 6371000     		du = 211.826739624672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80416283)-sin(-0.80419608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693714449856013-0.693690501155439)×R²
    abs(-0.66258383--0.66263176)×2.39487005742056e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39487005742056e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39487005742056e-05×40589641000000     		ar = 44873.2508425215m²