Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5184 / 3137
↖ ↑ ↗
← N 38.788345°
E 47.812500°		 ← 3 808.85 m → N 38.788345°
E 47.856445°		 →
↑
3 809.79 m
↓
↑
3 809.79 m
↓
N 38.754083°
E 47.812500°		 ← 3 810.68 m →
14 514 431 m²		 N 38.754083°
E 47.856445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5184 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63287353515625 y=0.38299560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63287353515625 × 213)
    floor (0.63287353515625 × 8192)
    floor (5184.5)     		tx = 5184
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38299560546875 × 213)
    floor (0.38299560546875 × 8192)
    floor (3137.5)     		ty = 3137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5184 / 3137 ti = "13/5184/3137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5184/3137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5184 ÷ 213
    5184 ÷ 8192     		x = 0.6328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3137 ÷ 213
    3137 ÷ 8192     		y = 0.3829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6328125 × 2 - 1) × π
    0.265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3829345703125 × 2 - 1) × π
    0.234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.735543787770142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83448555} λ = 0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.735543787770142))-π/2
    2×atan(2.08661636050717)-π/2
    2×1.1238903323127-π/2
    2.2477806646254-1.57079632675     		φ = 0.67698434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67698434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.788345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5184 KachelY 3137 0.83448555 0.67698434 47.812500 38.788345
    Oben rechts KachelX + 1 5185 KachelY 3137 0.83525254 0.67698434 47.856445 38.788345
    Unten links KachelX 5184 KachelY + 1 3138 0.83448555 0.67638635 47.812500 38.754083
    Unten rechts KachelX + 1 5185 KachelY + 1 3138 0.83525254 0.67638635 47.856445 38.754083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67698434-0.67638635) × R
    0.000597989999999937 × 6371000     		dl = 3809.7942899996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67698434-0.67638635) × R
    0.000597989999999937 × 6371000     		dr = 3809.7942899996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83448555-0.83525254) × cos(0.67698434) × R
    0.000766990000000023 × 0.779465406147364 × 6371000     		do = 3808.85247692633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83448555-0.83525254) × cos(0.67638635) × R
    0.000766990000000023 × 0.779839874768796 × 6371000     		du = 3810.68231533228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67698434)-sin(0.67638635))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779465406147364-0.779839874768796)×R²
    abs(0.83525254-0.83448555)×0.000374468621431978×R²
    0.000766990000000023×0.000374468621431978×6371000²
    0.000766990000000023×0.000374468621431978×40589641000000     		ar = 14514430.504518m²