Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51840 / 84608
↖ ↑ ↗
← S 46.316584°
W 37.617188°		 ← 210.95 m → S 46.316584°
W 37.614441°		 →
↑
210.94 m
↓
↑
210.94 m
↓
S 46.318481°
W 37.617188°		 ← 210.94 m →
44 498 m²		 S 46.318481°
W 37.614441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.395511627197266 y=0.645511627197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.395511627197266 × 217)
    floor (0.395511627197266 × 131072)
    floor (51840.5)     		tx = 51840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645511627197266 × 217)
    floor (0.645511627197266 × 131072)
    floor (84608.5)     		ty = 84608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51840 / 84608 ti = "17/51840/84608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51840/84608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51840 ÷ 217
    51840 ÷ 131072     		x = 0.3955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84608 ÷ 217
    84608 ÷ 131072     		y = 0.6455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3955078125 × 2 - 1) × π
    -0.208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.65654378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6455078125 × 2 - 1) × π
    -0.291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.914252549553711
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65654378} λ = -0.65654378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.914252549553711))-π/2
    2×atan(0.400816104330366)-π/2
    2×0.381209717281512-π/2
    0.762419434563024-1.57079632675     		φ = -0.80837689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65654378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.617188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80837689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.316584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51840 KachelY 84608 -0.65654378 -0.80837689 -37.617188 -46.316584
    Oben rechts KachelX + 1 51841 KachelY 84608 -0.65649584 -0.80837689 -37.614441 -46.316584
    Unten links KachelX 51840 KachelY + 1 84609 -0.65654378 -0.80841000 -37.617188 -46.318481
    Unten rechts KachelX + 1 51841 KachelY + 1 84609 -0.65649584 -0.80841000 -37.614441 -46.318481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80837689--0.80841000) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dl = 210.943809999665m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80837689--0.80841000) × R
    3.31099999999473e-05 × 6371000     		dr = 210.943809999665m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65654378--0.65649584) × cos(-0.80837689) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690673121954347 × 6371000     		do = 210.949349370878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65654378--0.65649584) × cos(-0.80841000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.690649177513451 × 6371000     		du = 210.942036122299m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80837689)-sin(-0.80841000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.690673121954347-0.690649177513451)×R²
    abs(-0.65649584--0.65654378)×2.39444408951517e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39444408951517e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39444408951517e-05×40589641000000     		ar = 44497.6881352491m²