Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5185 / 3135
↖ ↑ ↗
← N 38.856820°
E 47.856445°		 ← 3 805.19 m → N 38.856820°
E 47.900391°		 →
↑
3 806.10 m
↓
↑
3 806.10 m
↓
N 38.822591°
E 47.856445°		 ← 3 807.02 m →
14 486 420 m²		 N 38.822591°
E 47.900391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63299560546875 y=0.38275146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63299560546875 × 213)
    floor (0.63299560546875 × 8192)
    floor (5185.5)     		tx = 5185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38275146484375 × 213)
    floor (0.38275146484375 × 8192)
    floor (3135.5)     		ty = 3135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5185 / 3135 ti = "13/5185/3135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5185/3135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5185 ÷ 213
    5185 ÷ 8192     		x = 0.6329345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3135 ÷ 213
    3135 ÷ 8192     		y = 0.3826904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6329345703125 × 2 - 1) × π
    0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3826904296875 × 2 - 1) × π
    0.234619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.737077768557983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83525254} λ = 0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.737077768557983))-π/2
    2×atan(2.08981964617699)-π/2
    2×1.1244878874925-π/2
    2.24897577498499-1.57079632675     		φ = 0.67817945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67817945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.856820°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5185 KachelY 3135 0.83525254 0.67817945 47.856445 38.856820
    Oben rechts KachelX + 1 5186 KachelY 3135 0.83601953 0.67817945 47.900391 38.856820
    Unten links KachelX 5185 KachelY + 1 3136 0.83525254 0.67758204 47.856445 38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 5186 KachelY + 1 3136 0.83601953 0.67758204 47.900391 38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67817945-0.67758204) × R
    0.00059741000000002 × 6371000     		dl = 3806.09911000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67817945-0.67758204) × R
    0.00059741000000002 × 6371000     		dr = 3806.09911000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83525254-0.83601953) × cos(0.67817945) × R
    0.000766989999999912 × 0.778716178664396 × 6371000     		do = 3805.19138185758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83525254-0.83601953) × cos(0.67758204) × R
    0.000766989999999912 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 3807.02216488973m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67817945)-sin(0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.778716178664396-0.779090840599552)×R²
    abs(0.83601953-0.83525254)×0.000374661935155896×R²
    0.000766989999999912×0.000374661935155896×6371000²
    0.000766989999999912×0.000374661935155896×40589641000000     		ar = 14486420.033549m²