Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5186 / 7234
↖ ↑ ↗
← S 79.702906°
E 47.900391°		 ← 873.47 m → S 79.702906°
E 47.944336°		 →
↑
873.15 m
↓
↑
873.15 m
↓
S 79.710759°
E 47.900391°		 ← 872.81 m →
762 380 m²		 S 79.710759°
E 47.944336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5186 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63311767578125 y=0.88311767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63311767578125 × 213)
    floor (0.63311767578125 × 8192)
    floor (5186.5)     		tx = 5186
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88311767578125 × 213)
    floor (0.88311767578125 × 8192)
    floor (7234.5)     		ty = 7234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5186 / 7234 ti = "13/5186/7234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5186/7234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5186 ÷ 213
    5186 ÷ 8192     		x = 0.633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7234 ÷ 213
    7234 ÷ 8192     		y = 0.883056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.633056640625 × 2 - 1) × π
    0.26611328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83601953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.883056640625 × 2 - 1) × π
    -0.76611328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.40681585612378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83601953} λ = 0.83601953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40681585612378))-π/2
    2×atan(0.0901017351844985)-π/2
    2×0.0898590910237387-π/2
    0.179718182047477-1.57079632675     		φ = -1.39107814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83601953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.900391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39107814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.702906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5186 KachelY 7234 0.83601953 -1.39107814 47.900391 -79.702906
    Oben rechts KachelX + 1 5187 KachelY 7234 0.83678652 -1.39107814 47.944336 -79.702906
    Unten links KachelX 5186 KachelY + 1 7235 0.83601953 -1.39121519 47.900391 -79.710759
    Unten rechts KachelX + 1 5187 KachelY + 1 7235 0.83678652 -1.39121519 47.944336 -79.710759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39107814--1.39121519) × R
    0.000137049999999972 × 6371000     		dl = 873.145549999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39107814--1.39121519) × R
    0.000137049999999972 × 6371000     		dr = 873.145549999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83601953-0.83678652) × cos(-1.39107814) × R
    0.000766990000000023 × 0.178752306175962 × 6371000     		do = 873.471944700892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83601953-0.83678652) × cos(-1.39121519) × R
    0.000766990000000023 × 0.178617461810347 × 6371000     		du = 872.813028613117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39107814)-sin(-1.39121519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178752306175962-0.178617461810347)×R²
    abs(0.83678652-0.83601953)×0.000134844365615477×R²
    0.000766990000000023×0.000134844365615477×6371000²
    0.000766990000000023×0.000134844365615477×40589641000000     		ar = 762380.477936339m²