Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5188 / 7236
↖ ↑ ↗
← S 79.718605°
E 47.988281°		 ← 872.15 m → S 79.718605°
E 48.032227°		 →
↑
871.81 m
↓
↑
871.81 m
↓
S 79.726446°
E 47.988281°		 ← 871.50 m →
760 064 m²		 S 79.726446°
E 48.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7236 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63336181640625 y=0.88336181640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63336181640625 × 213)
    floor (0.63336181640625 × 8192)
    floor (5188.5)     		tx = 5188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.88336181640625 × 213)
    floor (0.88336181640625 × 8192)
    floor (7236.5)     		ty = 7236
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5188 / 7236 ti = "13/5188/7236"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5188/7236.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5188 ÷ 213
    5188 ÷ 8192     		x = 0.63330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7236 ÷ 213
    7236 ÷ 8192     		y = 0.88330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63330078125 × 2 - 1) × π
    0.2666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.83755351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.88330078125 × 2 - 1) × π
    -0.7666015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.40834983691162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83755351} λ = 0.83755351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.40834983691162))-π/2
    2×atan(0.0899636268086538)-π/2
    2×0.0897220931370342-π/2
    0.179444186274068-1.57079632675     		φ = -1.39135214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83755351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.988281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.39135214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.718605°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5188 KachelY 7236 0.83755351 -1.39135214 47.988281 -79.718605
    Oben rechts KachelX + 1 5189 KachelY 7236 0.83832050 -1.39135214 48.032227 -79.718605
    Unten links KachelX 5188 KachelY + 1 7237 0.83755351 -1.39148898 47.988281 -79.726446
    Unten rechts KachelX + 1 5189 KachelY + 1 7237 0.83832050 -1.39148898 48.032227 -79.726446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.39135214--1.39148898) × R
    0.000136840000000138 × 6371000     		dl = 871.807640000879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.39135214--1.39148898) × R
    0.000136840000000138 × 6371000     		dr = 871.807640000879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83755351-0.83832050) × cos(-1.39135214) × R
    0.000766990000000023 × 0.178482712484118 × 6371000     		do = 872.15457693467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83755351-0.83832050) × cos(-1.39148898) × R
    0.000766990000000023 × 0.178348068046814 × 6371000     		du = 871.496637795248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.39135214)-sin(-1.39148898))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178482712484118-0.178348068046814)×R²
    abs(0.83832050-0.83755351)×0.00013464443730396×R²
    0.000766990000000023×0.00013464443730396×6371000²
    0.000766990000000023×0.00013464443730396×40589641000000     		ar = 760064.226434821m²