Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 519 / 536
↖ ↑ ↗
← S  8.407168°
E  2.460937°		 ← 38.672 km → S  8.407168°
E  2.812500°		 →
↑
38.654 km
↓
↑
38.654 km
↓
S  8.754795°
E  2.460937°		 ← 38.637 km →
1 494.16 km²		 S  8.754795°
E  2.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50732421875 y=0.52392578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50732421875 × 210)
    floor (0.50732421875 × 1024)
    floor (519.5)     		tx = 519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.52392578125 × 210)
    floor (0.52392578125 × 1024)
    floor (536.5)     		ty = 536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 519 / 536 ti = "10/519/536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/519/536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 519 ÷ 210
    519 ÷ 1024     		x = 0.5068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 536 ÷ 210
    536 ÷ 1024     		y = 0.5234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    0.013671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.04295146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5234375 × 2 - 1) × π
    -0.046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.147262155632813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04295146} λ = 0.04295146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.147262155632813))-π/2
    2×atan(0.863067689699962)-π/2
    2×0.712031780787688-π/2
    1.42406356157538-1.57079632675     		φ = -0.14673277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04295146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.460937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.14673277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.407168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 519 KachelY 536 0.04295146 -0.14673277 2.460937 -8.407168
    Oben rechts KachelX + 1 520 KachelY 536 0.04908739 -0.14673277 2.812500 -8.407168
    Unten links KachelX 519 KachelY + 1 537 0.04295146 -0.15279999 2.460937 -8.754795
    Unten rechts KachelX + 1 520 KachelY + 1 537 0.04908739 -0.15279999 2.812500 -8.754795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.14673277--0.15279999) × R
    0.00606721999999998 × 6371000     		dl = 38654.2586199999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.14673277--0.15279999) × R
    0.00606721999999998 × 6371000     		dr = 38654.2586199999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04295146-0.04908739) × cos(-0.14673277) × R
    0.00613593 × 0.989254048358907 × 6371000     		do = 38671.9291806645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04295146-0.04908739) × cos(-0.15279999) × R
    0.00613593 × 0.988348777253828 × 6371000     		du = 38636.5403135449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.14673277)-sin(-0.15279999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.989254048358907-0.988348777253828)×R²
    abs(0.04908739-0.04295146)×0.000905271105078653×R²
    0.00613593×0.000905271105078653×6371000²
    0.00613593×0.000905271105078653×40589641000000     		ar = 1494155370.14143m²