Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5192 / 3144
↖ ↑ ↗
← N 38.548166°
E 48.164062°		 ← 3 821.65 m → N 38.548166°
E 48.208008°		 →
↑
3 822.60 m
↓
↑
3 822.60 m
↓
N 38.513788°
E 48.164062°		 ← 3 823.48 m →
14 612 134 m²		 N 38.513788°
E 48.208008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3144 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63385009765625 y=0.38385009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63385009765625 × 213)
    floor (0.63385009765625 × 8192)
    floor (5192.5)     		tx = 5192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.38385009765625 × 213)
    floor (0.38385009765625 × 8192)
    floor (3144.5)     		ty = 3144
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5192 / 3144 ti = "13/5192/3144"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5192/3144.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5192 ÷ 213
    5192 ÷ 8192     		x = 0.6337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3144 ÷ 213
    3144 ÷ 8192     		y = 0.3837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6337890625 × 2 - 1) × π
    0.267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.84062147
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3837890625 × 2 - 1) × π
    0.232421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.730174855012695
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.84062147} λ = 0.84062147}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.730174855012695))-π/2
    2×atan(2.07544347764401)-π/2
    2×1.12179436700708-π/2
    2.24358873401417-1.57079632675     		φ = 0.67279241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.84062147} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.164062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.67279241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 38.548166°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5192 KachelY 3144 0.84062147 0.67279241 48.164062 38.548166
    Oben rechts KachelX + 1 5193 KachelY 3144 0.84138846 0.67279241 48.208008 38.548166
    Unten links KachelX 5192 KachelY + 1 3145 0.84062147 0.67219241 48.164062 38.513788
    Unten rechts KachelX + 1 5193 KachelY + 1 3145 0.84138846 0.67219241 48.208008 38.513788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.67279241-0.67219241) × R
    0.000600000000000045 × 6371000     		dl = 3822.60000000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.67279241-0.67219241) × R
    0.000600000000000045 × 6371000     		dr = 3822.60000000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.84062147-0.84138846) × cos(0.67279241) × R
    0.000766990000000023 × 0.782084564710599 × 6371000     		do = 3821.65097767102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.84062147-0.84138846) × cos(0.67219241) × R
    0.000766990000000023 × 0.782458327301687 × 6371000     		du = 3823.47736606443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.67279241)-sin(0.67219241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.782084564710599-0.782458327301687)×R²
    abs(0.84138846-0.84062147)×0.000373762591088012×R²
    0.000766990000000023×0.000373762591088012×6371000²
    0.000766990000000023×0.000373762591088012×40589641000000     		ar = 14612134.2417444m²