Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 52 / 5
↖ ↑ ↗
← N 81.923187°
E112.500000°		 ← 87.879 km → N 81.923187°
E118.125000°		 →
↑
92.289 km
↓
↑
92.289 km
↓
N 81.093214°
E112.500000°		 ← 96.840 km →
8 523.90 km²		 N 81.093214°
E118.125000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.8203125 y=0.0859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.8203125 × 26)
    floor (0.8203125 × 64)
    floor (52.5)     		tx = 52
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0859375 × 26)
    floor (0.0859375 × 64)
    floor (5.5)     		ty = 5
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 52 / 5 ti = "6/52/5"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/52/5.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52 ÷ 26
    52 ÷ 64     		x = 0.8125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5 ÷ 26
    5 ÷ 64     		y = 0.078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8125 × 2 - 1) × π
    0.625 × 3.1415926535     		Λ = 1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078125 × 2 - 1) × π
    0.84375 × 3.1415926535     		Φ = 2.65071880139062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.96349541} λ = 1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.65071880139062))-π/2
    2×atan(14.1642162454354)-π/2
    2×1.50031283094907-π/2
    3.00062566189813-1.57079632675     		φ = 1.42982934
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42982934 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.923187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52 KachelY 5 1.96349541 1.42982934 112.500000 81.923187
    Oben rechts KachelX + 1 53 KachelY 5 2.06167018 1.42982934 118.125000 81.923187
    Unten links KachelX 52 KachelY + 1 6 1.96349541 1.41534358 112.500000 81.093214
    Unten rechts KachelX + 1 53 KachelY + 1 6 2.06167018 1.41534358 118.125000 81.093214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42982934-1.41534358) × R
    0.0144857599999999 × 6371000     		dl = 92288.7769599994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42982934-1.41534358) × R
    0.0144857599999999 × 6371000     		dr = 92288.7769599994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.96349541-2.06167018) × cos(1.42982934) × R
    0.0981747700000002 × 0.140500575046616 × 6371000     		do = 87879.0997588816m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.96349541-2.06167018) × cos(1.41534358) × R
    0.0981747700000002 × 0.154827402507351 × 6371000     		du = 96840.1214431874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42982934)-sin(1.41534358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140500575046616-0.154827402507351)×R²
    abs(2.06167018-1.96349541)×0.0143268274607344×R²
    0.0981747700000002×0.0143268274607344×6371000²
    0.0981747700000002×0.0143268274607344×40589641000000     		ar = 8523904556.11169m²