Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
10 / 520 / 519
↖ ↑ ↗
← S  2.460181°
E  2.812500°		 ← 39.056 km → S  2.460181°
E  3.164063°		 →
↑
39.051 km
↓
↑
39.051 km
↓
S  2.811371°
E  2.812500°		 ← 39.045 km →
1 524.94 km²		 S  2.811371°
E  3.164063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.50830078125 y=0.50732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.50830078125 × 210)
    floor (0.50830078125 × 1024)
    floor (520.5)     		tx = 520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.50732421875 × 210)
    floor (0.50732421875 × 1024)
    floor (519.5)     		ty = 519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 520 / 519 ti = "10/520/519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/520/519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 520 ÷ 210
    520 ÷ 1024     		x = 0.5078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 519 ÷ 210
    519 ÷ 1024     		y = 0.5068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5078125 × 2 - 1) × π
    0.015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.04908739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5068359375 × 2 - 1) × π
    -0.013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.0429514620595703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.04908739} λ = 0.04908739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.0429514620595703))-π/2
    2×atan(0.957957886241424)-π/2
    2×0.763929032495852-π/2
    1.5278580649917-1.57079632675     		φ = -0.04293826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.04908739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 2.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.04293826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -2.460181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 520 KachelY 519 0.04908739 -0.04293826 2.812500 -2.460181
    Oben rechts KachelX + 1 521 KachelY 519 0.05522331 -0.04293826 3.164063 -2.460181
    Unten links KachelX 520 KachelY + 1 520 0.04908739 -0.04906768 2.812500 -2.811371
    Unten rechts KachelX + 1 521 KachelY + 1 520 0.05522331 -0.04906768 3.164063 -2.811371
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.04293826--0.04906768) × R
    0.00612942 × 6371000     		dl = 39050.53482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.04293826--0.04906768) × R
    0.00612942 × 6371000     		dr = 39050.53482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.04908739-0.05522331) × cos(-0.04293826) × R
    0.00613592 × 0.999078294539057 × 6371000     		do = 39055.9150595979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.04908739-0.05522331) × cos(-0.04906768) × R
    0.00613592 × 0.9987964229002 × 6371000     		du = 39044.8961486226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.04293826)-sin(-0.04906768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999078294539057-0.9987964229002)×R²
    abs(0.05522331-0.04908739)×0.000281871638856956×R²
    0.00613592×0.000281871638856956×6371000²
    0.00613592×0.000281871638856956×40589641000000     		ar = 1524943998.10018m²