Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5215 / 1119
↖ ↑ ↗
← N 78.358282°
E 49.174805°		 ← 986.05 m → N 78.358282°
E 49.218750°		 →
↑
986.42 m
↓
↑
986.42 m
↓
N 78.349410°
E 49.174805°		 ← 986.79 m →
973 028 m²		 N 78.349410°
E 49.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63665771484375 y=0.13665771484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63665771484375 × 213)
    floor (0.63665771484375 × 8192)
    floor (5215.5)     		tx = 5215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.13665771484375 × 213)
    floor (0.13665771484375 × 8192)
    floor (1119.5)     		ty = 1119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5215 / 1119 ti = "13/5215/1119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5215/1119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5215 ÷ 213
    5215 ÷ 8192     		x = 0.6365966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1119 ÷ 213
    1119 ÷ 8192     		y = 0.1365966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6365966796875 × 2 - 1) × π
    0.273193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85826225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1365966796875 × 2 - 1) × π
    0.726806640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.28333040270251
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85826225} λ = 0.85826225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.28333040270251))-π/2
    2×atan(9.80929497205443)-π/2
    2×1.46920317015844-π/2
    2.93840634031688-1.57079632675     		φ = 1.36761001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85826225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.174805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36761001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.358282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5215 KachelY 1119 0.85826225 1.36761001 49.174805 78.358282
    Oben rechts KachelX + 1 5216 KachelY 1119 0.85902924 1.36761001 49.218750 78.358282
    Unten links KachelX 5215 KachelY + 1 1120 0.85826225 1.36745518 49.174805 78.349410
    Unten rechts KachelX + 1 5216 KachelY + 1 1120 0.85902924 1.36745518 49.218750 78.349410
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36761001-1.36745518) × R
    0.000154829999999828 × 6371000     		dl = 986.421929998905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36761001-1.36745518) × R
    0.000154829999999828 × 6371000     		dr = 986.421929998905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85826225-0.85902924) × cos(1.36761001) × R
    0.000766990000000023 × 0.201791119602322 × 6371000     		do = 986.050951918363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85826225-0.85902924) × cos(1.36745518) × R
    0.000766990000000023 × 0.201942762110113 × 6371000     		du = 986.791952015164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36761001)-sin(1.36745518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.201791119602322-0.201942762110113)×R²
    abs(0.85902924-0.85826225)×0.0001516425077914×R²
    0.000766990000000023×0.0001516425077914×6371000²
    0.000766990000000023×0.0001516425077914×40589641000000     		ar = 973027.754386091m²