Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52223 / 84993
↖ ↑ ↗
← S 47.042054°
W 36.565246°		 ← 208.09 m → S 47.042054°
W 36.562500°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
S 47.043925°
W 36.565246°		 ← 208.09 m →
43 298 m²		 S 47.043925°
W 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398433685302734 y=0.648448944091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398433685302734 × 217)
    floor (0.398433685302734 × 131072)
    floor (52223.5)     		tx = 52223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648448944091797 × 217)
    floor (0.648448944091797 × 131072)
    floor (84993.5)     		ty = 84993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52223 / 84993 ti = "17/52223/84993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52223/84993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52223 ÷ 217
    52223 ÷ 131072     		x = 0.398429870605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84993 ÷ 217
    84993 ÷ 131072     		y = 0.648445129394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398429870605469 × 2 - 1) × π
    -0.203140258789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.63818394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648445129394531 × 2 - 1) × π
    -0.296890258789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.932708255907433
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63818394} λ = -0.63818394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932708255907433))-π/2
    2×atan(0.393486603606026)-π/2
    2×0.374878799964806-π/2
    0.749757599929611-1.57079632675     		φ = -0.82103873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63818394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.565246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82103873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.042054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52223 KachelY 84993 -0.63818394 -0.82103873 -36.565246 -47.042054
    Oben rechts KachelX + 1 52224 KachelY 84993 -0.63813601 -0.82103873 -36.562500 -47.042054
    Unten links KachelX 52223 KachelY + 1 84994 -0.63818394 -0.82107139 -36.565246 -47.043925
    Unten rechts KachelX + 1 52224 KachelY + 1 84994 -0.63813601 -0.82107139 -36.562500 -47.043925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82103873--0.82107139) × R
    3.26599999999067e-05 × 6371000     		dl = 208.076859999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82103873--0.82107139) × R
    3.26599999999067e-05 × 6371000     		dr = 208.076859999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63818394--0.63813601) × cos(-0.82103873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681461376271805 × 6371000     		do = 208.09242922508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63818394--0.63813601) × cos(-0.82107139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681437473554147 × 6371000     		du = 208.085130242693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82103873)-sin(-0.82107139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681461376271805-0.681437473554147)×R²
    abs(-0.63813601--0.63818394)×2.39027176582862e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39027176582862e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39027176582862e-05×40589641000000     		ar = 43298.4598920386m²