Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52226 / 80898
↖ ↑ ↗
← S 38.826871°
W 36.557007°		 ← 237.89 m → S 38.826871°
W 36.554260°		 →
↑
237.89 m
↓
↑
237.89 m
↓
S 38.829010°
W 36.557007°		 ← 237.88 m →
56 592 m²		 S 38.829010°
W 36.554260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398456573486328 y=0.617206573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398456573486328 × 217)
    floor (0.398456573486328 × 131072)
    floor (52226.5)     		tx = 52226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617206573486328 × 217)
    floor (0.617206573486328 × 131072)
    floor (80898.5)     		ty = 80898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52226 / 80898 ti = "17/52226/80898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52226/80898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52226 ÷ 217
    52226 ÷ 131072     		x = 0.398452758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80898 ÷ 217
    80898 ÷ 131072     		y = 0.617202758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398452758789062 × 2 - 1) × π
    -0.203094482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63804013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617202758789062 × 2 - 1) × π
    -0.234405517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.736406651963303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63804013} λ = -0.63804013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736406651963303))-π/2
    2×atan(0.478831435848729)-π/2
    2×0.446569798983837-π/2
    0.893139597967675-1.57079632675     		φ = -0.67765673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63804013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.557007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67765673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.826871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52226 KachelY 80898 -0.63804013 -0.67765673 -36.557007 -38.826871
    Oben rechts KachelX + 1 52227 KachelY 80898 -0.63799220 -0.67765673 -36.554260 -38.826871
    Unten links KachelX 52226 KachelY + 1 80899 -0.63804013 -0.67769407 -36.557007 -38.829010
    Unten rechts KachelX + 1 52227 KachelY + 1 80899 -0.63799220 -0.67769407 -36.554260 -38.829010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67765673--0.67769407) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dl = 237.89313999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67765673--0.67769407) × R
    3.73399999999968e-05 × 6371000     		dr = 237.89313999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63804013--0.63799220) × cos(-0.67765673) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.779044014440305 × 6371000     		do = 237.890461708986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63804013--0.63799220) × cos(-0.67769407) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.779020602865917 × 6371000     		du = 237.883312703106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67765673)-sin(-0.67769407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779044014440305-0.779020602865917)×R²
    abs(-0.63799220--0.63804013)×2.34115743880103e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34115743880103e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34115743880103e-05×40589641000000     		ar = 56591.6585687103m²