Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 52228 / 84996
↖ ↑ ↗
← S 47.047668°
W 36.551514°		 ← 208.11 m → S 47.047668°
W 36.548767°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
S 47.049540°
W 36.551514°		 ← 208.11 m →
43 316 m²		 S 47.049540°
W 36.548767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52228 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398471832275391 y=0.648471832275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398471832275391 × 217)
    floor (0.398471832275391 × 131072)
    floor (52228.5)     		tx = 52228
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648471832275391 × 217)
    floor (0.648471832275391 × 131072)
    floor (84996.5)     		ty = 84996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52228 / 84996 ti = "17/52228/84996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52228/84996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52228 ÷ 217
    52228 ÷ 131072     		x = 0.398468017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84996 ÷ 217
    84996 ÷ 131072     		y = 0.648468017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.20306396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.63794426
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648468017578125 × 2 - 1) × π
    -0.29693603515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.932852066606293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63794426} λ = -0.63794426}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932852066606293))-π/2
    2×atan(0.393430020091325)-π/2
    2×0.374829801824869-π/2
    0.749659603649739-1.57079632675     		φ = -0.82113672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63794426} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.551514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82113672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.047668°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52228 KachelY 84996 -0.63794426 -0.82113672 -36.551514 -47.047668
    Oben rechts KachelX + 1 52229 KachelY 84996 -0.63789632 -0.82113672 -36.548767 -47.047668
    Unten links KachelX 52228 KachelY + 1 84997 -0.63794426 -0.82116939 -36.551514 -47.049540
    Unten rechts KachelX + 1 52229 KachelY + 1 84997 -0.63789632 -0.82116939 -36.548767 -47.049540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82113672--0.82116939) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82113672--0.82116939) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63794426--0.63789632) × cos(-0.82113672) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.681389658619029 × 6371000     		do = 208.11394071241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63794426--0.63789632) × cos(-0.82116939) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.681365746401175 × 6371000     		du = 208.106637305577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82113672)-sin(-0.82116939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681389658619029-0.681365746401175)×R²
    abs(-0.63789632--0.63794426)×2.39122178535833e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39122178535833e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39122178535833e-05×40589641000000     		ar = 43316.1941809079m²