Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 52232 / 85000
↖ ↑ ↗
← S 47.055154°
W 36.540527°		 ← 208.04 m → S 47.055154°
W 36.537781°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
S 47.057025°
W 36.540527°		 ← 208.03 m →
43 288 m²		 S 47.057025°
W 36.537781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 52232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398502349853516 y=0.648502349853516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398502349853516 × 217)
    floor (0.398502349853516 × 131072)
    floor (52232.5)     		tx = 52232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648502349853516 × 217)
    floor (0.648502349853516 × 131072)
    floor (85000.5)     		ty = 85000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 52232 / 85000 ti = "17/52232/85000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/52232/85000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 52232 ÷ 217
    52232 ÷ 131072     		x = 0.39849853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85000 ÷ 217
    85000 ÷ 131072     		y = 0.64849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2030029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.63775251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.933043814204773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63775251} λ = -0.63775251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933043814204773))-π/2
    2×atan(0.393354588061988)-π/2
    2×0.374764478993884-π/2
    0.749528957987769-1.57079632675     		φ = -0.82126737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63775251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.540527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82126737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.055154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 52232 KachelY 85000 -0.63775251 -0.82126737 -36.540527 -47.055154
    Oben rechts KachelX + 1 52233 KachelY 85000 -0.63770458 -0.82126737 -36.537781 -47.055154
    Unten links KachelX 52232 KachelY + 1 85001 -0.63775251 -0.82130003 -36.540527 -47.057025
    Unten rechts KachelX + 1 52233 KachelY + 1 85001 -0.63770458 -0.82130003 -36.537781 -47.057025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82126737--0.82130003) × R
    3.26599999999067e-05 × 6371000     		dl = 208.076859999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82126737--0.82130003) × R
    3.26599999999067e-05 × 6371000     		dr = 208.076859999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63775251--0.63770458) × cos(-0.82126737) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681294027344564 × 6371000     		do = 208.041327216939m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63775251--0.63770458) × cos(-0.82130003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681270119538888 × 6371000     		du = 208.034026680865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82126737)-sin(-0.82130003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681294027344564-0.681270119538888)×R²
    abs(-0.63770458--0.63775251)×2.39078056768482e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39078056768482e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39078056768482e-05×40589641000000     		ar = 43287.8265848763m²